数字信号处理答案上.pdf

1 第五章习题 1、用直接I型及典范型结构实现以 下系统函数 21 21 4 . 06 . 02 8 . 02 . 43 )( zz zz zH 分析：分析：注意系统函数H(z)分母Z0项的系 数应该化简为1。分母的 系数取负号，即为反馈链的系数。 ) , 2 , 1( iz i 2 解： 21 21 2 . 03 . 01 4 . 01 . 25 . 1 )( zz zz zH )2 . 03 . 0(1 4 . 01 . 25 . 1 21 21 zz zz )( )( 1 )( 1 0 zX zY za zb zH N n n n M m m n 3 . 0 1 a2 . 0 2 a 5 . 1 0 b1 . 2 1 b 4 . 0 2 b 3 直接I型： 直接II型（ 典范型结构）： 4 )8 . 09 . 0)(5 . 0( ) 14 . 1)(1(4 )( 2 2 zzz zzz zH 2、用级联型结构实现以下系统函数 试问一共能构成几种级联型网络。 分析：分析：用二阶基本节的级联来表达 （某些节可能是一阶的）。 5 解： k kk kk zz zz AzH 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 )( )8 . 09 . 01)(5 . 01 ( )4 . 11)(1 (4 211 211 zzz zzz 4A 8 . 0 , 9 . 0 , 0, 5 . 0 1, 4 . 1 , 0 , 1 22122111 22122111 由此可得：采用二阶节实现，还考虑 分子分母组合成二阶（一阶）基本节 的方式，则有四种实现形式。 6 7 3.给出以下系统函数的并联型实现。 )8 . 09 . 01)(5 . 01 ( 6 . 141. 158. 12 . 5 )( 211 321 zzz zzz zH 分析：分析：注意并联的基本二阶节和级联的 基本二阶节是不一样的，这是因为系统 函数化为部分分式之和，分子的的最高 阶数比分母的最高阶数要低一阶，如果 分子、分母多项式的的最高阶数相同， 则必然会分解出一个常数项的相加（并 联）因子。 8 解：对此系统函数进行因式分解并展 成部分分式得： )8 . 09 . 01)(5 . 01 ( 6 . 141. 158. 12 . 5 )( 211 321 zzz zzz zH 21 1 1 8 . 09 . 01 3 . 01 5 . 01 2 . 0 4 zz z z 4 0 G 0 , 5 . 0 2111 8 . 0, 9 . 0 2212 0 , 2 . 0 1101 3 . 0 , 1 1202 9 并联型结构： 10 4用横截型结构实现以下系统函数： 11111 1 6 1 12161 2 1 1)( zzzzzzH 分析：分析：FIR滤波器的横截型又称横向型， 也就是直接型。 )1)( 6 1 1 ( )21)(61)( 2 1 1 ()( 11 111 zz zzzzH 解： 11 )1)(6 6 1 1 ( )2 2 1 1 ( 1211211 zzzzzzz )1)( 6 37 1 ( ) 2 5 1 ( 12121 zzzzz 54321 3 8 12 205 12 205 3 8 1 zzzzz 12 横截型结构： 13 线性相位结构： 14 5已知FIR滤波器的单位冲击响应为 )4(12. 0) 3(11. 0 )2(72. 0) 1(3 . 0)()( nn nnnnh 试画出其级联型结构实现。 分析：分析：级联型是用二阶节的因式乘积 表示。 15 解：根据得： 1 0 )()( N n n znhzH 4321 12. 011. 072. 03 . 01)( zzzzzH )4 . 01 . 01 ( )3 . 02 . 01 ( 2121 zzzz 2 1 2 2 1 10 )()( N k kkk zzzH 而FIR级联型结构的模型公式为： 16 对照上式可得此题的参数为： , 1 , 1 0201 1 . 0 , 2 . 0 1211 4 . 0 , 3 . 0 2221 17 级联型结构： 18 1 63 1 325 )( z zz zH 9 . 0r抽样点数 N = 6，修正半径。 分析：分析：FIR滤波器的修正的频率抽样结构： 1 2/ 1 0 1 ) 2 ( )( , 1 )0( )( zr N H zH zr H zH N 6用频率抽样结构实现以下系统函数： 19 1 2 21 , 2 1 21 ) 2 cos(21 )( 221 1 10 偶数， 奇数 N N , , k N N- , , k zrk N rz z zH kk k 其中 )(Re2 , )(Re2 10 k Nkk WkHrkH 解：因为N =6，所以根据公式可得： 2 1 30 66 )()()()1 ( 6 1 )( k k zHzHzHzrzH 20 jHHH HjHH eee ZHkH zzz z zz zH kjkj kj NkZ 322)5(,0)4(,2)3( 0)2(,322) 1 (,24)0( )1)(35( )()( )1)(35( 1 )1)(35( )( 3 2 3 /2 213 1 33 因而 故 21 11 3 11 0 9 . 01 2 1 ) 3( )( 9 . 01 24 1 )0( )( zrz H zH zrz H zH则 221 1 1101 1 2 cos21 )( 1 )( zr N rz z zHk zH k ：时 ：求 22 0)( 0 2 81. 09 . 01 6 . 34 )( 6 . 3) 1 (Re)9 . 0()2( 4322Re2) 1 (Re2 21202 21 1 1 1 611 01 zHk zz z zH WH jH ，：时 23 频率抽样结构： 24 )3531 ( 5 1 )( 4321 zzzzzH 试画出此滤波器的线性相位结构。 分析：分析：FIR线性相位滤波器满足 )1()(nNhnh 2/)1( Nn 即对呈现偶对称或奇对称， 因而可简化结构。 7设某FIR数字滤波器的系统函数为： 25 解：由题中所给条件可知： )4( 5 1 ) 3( 5 3 )2() 1( 5 3 )( 5 1 )( nn nnnnh 。为奇数，处 偶对称，对称中心在即 则 )5( 2 2 1 )( 1)2( 6 . 0 5 3 )3() 1 ( 2 . 0 5 1 )4()0( NN N nnh h hh hh 26 线性相位结构： 27 第六章习题 1、用冲激响应不变法将以下变 换为，抽样周期为T )(sH a )(zH 。为任意正整数 , )( )( )2( )( )( ) 1 ( 0 22 n ss A sH bas as sH n a a 28 分析：分析：冲激响应不变法满足， )()()(nThthnh a nTt a T为抽样间隔。这种变换法必须先 用部分分式展开。第（2）小题要复习拉 普拉斯变换公式 )(sH a 1 ! n n S n tL n a nts a SS A sHtu n tAe th )( )()( )!1( )( 0 1 0 29 可求出)()()(kTThtThkh a kTt a dz zdX zkkx )( )( 则可递推求解。 又 30 解解: : (1)、 jbasjbas bas as sHa 11 2 1 )( )( 22 )( 2 1 )( )()( tueeth tjbatjba a 由冲激响应不变法可得： 31 )( 2 )()( )()( nuee T nTThnh nTjbanTjba a 11 0 1 1 1 1 2 )( )( zeezee T znhzH jbTaTjbTaT n n 221 1 cos21 cos1 zebTze bTze T aTaT aT 32 (2)、先引用拉氏变换的结论 1 ! n n s n tL 可得： 00 1(1)! ( ) ()(1)!() a nn An Hs ssnss )( )!1( )( 1 0 tu n tAe th nts a 则 )( )!1( )( )()( 1 0 ku n kTAe TTkThkh nkTs a dz zdX zkkx az kua Z Zk )( )( , 1 1 )( 1 且 按 33 ) 1 1 ()( )!1( )( )!1( )()( 1 1 1 11 1 0 0 0 ze dz d z n AT ezk n T TA zkhzH Ts n n k kTsn n k k 可得 ,3,2 )1 ( 1, 1 )( 1 1 1 0 0 0 n ze zeAT n ze AT zH nTs TSn Ts ， 可以递推求得： 34 2 2. . 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器 的归一化系统函数为： 2 4142136. 11 1 )( ss sH a 而3 3dBdB截止频率为50Hz的模拟滤波器， 需 将 归 一 化 的中 的 S 变 量 用 来代替 )( sH a 502 s 42 4 108696044. 928830.444 108696044. 9 ) 100 ()( ss s HsH aa 35 设系统抽样频率为，要求从 这一低通模拟滤波器设计一个低通数 字滤波器，采用阶跃响应不变法。 Hzf s 500 36 分析：分析：阶跃响应不变法，使离散系统 的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的 等间隔抽样， )()()(nTgtgng a nTt a )(sHa 由模拟系统函数变换成数字系 统函数的关系式为： )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 11 nTt a nTta nTtaa s sH LZ z z sGLZ z z tGZ z z zG z z zH 还要用到一些变换关系式。 37 解解: :根据书上公式可得模拟滤波器阶跃 响应的拉普拉斯变换为： )( 1 )(sH s sG aa )108696044. 928830.444( 108696044. 9 42 4 sss 22 )14415.222()14415.222( 14415.222)14415.222(1 s s s 2 0 2 0 0 )( )()(sin as tuteL at 由于 38 2 0 2 0 )( )()(cos as as tuteL at s tuL 1 )( )()( 1 sGLtg aa 故 u(t) ) 14415.222cos( ) 14415.222sin(1 14415.222 t te t )()(nTgng a 则 u(n) )T 14415.222cos( )T 14415.222sin(1 nT 14415.222 n ne 39 利用以下z z变换关系： )()(zXnxZ )()(zeXnxeZ aTnaT 1cos2 sin )()(sin 2 aTzz aTz nunaTZ 1cos2 cos )()(cos 2 2 aTzz aTzz nunaTZ 1 )( z z nuZ 且代入a=222.14415 s f T s 3 102 500 11 40 )()(ngZzG 可得阶跃响应的z变换 41124070. 01580459. 1 30339071. 0 1 2 2 zz zz z z )41124070. 01580459. 1)(1( 10784999. 014534481. 0 2 2 zzz zz )( 1 )(zG z z zH 由此可得数字低通滤波器的系统函数为： 21 21 41124070. 01580459. 11 10784999. 014534481. 0 zz zz 41 3 3设有一模拟滤波器 1 1 )( 2 ss sH a 抽样周期T = 2，试用双线性变换法将 它转变为数字系统函数。)(zH 42 分析：分析：双线性变换法将模拟系统函数 的S平面和离散的系统函数的Z平面之 间是一一对应的关系，消除了频谱的 混叠现象，变换关系为。 1 1 1 1 z z cs 43 解：由变换公式 1 1 1 1 z z cs 及可得： T c 2 1 1 1 1 z z s 1 1 1 1 |)()( z z s a sHzH T = 2时： 2 21 1 1 2 1 1 3 )1( 1 1 1 1 1 1 z z z z z z 44 4 4要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用 双线性变换双线性变换导出一低通数字滤波器， 已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样 频率为1kHz。 45 分析：分析：双线性变换关系同上题，先要 用 归 一 化 的 巴 特 沃 思 滤 波 器 （）。利用关系代入 其中得到截止频率为的模拟巴特沃 思滤波器，然后变换成数字巴特沃思 滤波器。 1 c c ss/ c 46 代入得出截止频率为 14142136. 1 1 12 1 )( 2 2 ss ss sHa c s s c 解： 归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为： 则将 的模拟原型为 ,839392.649)1 . 0tan(2000 2 tan 2 ,2 . 0/2, 2 tan 2 c c scc T ff T 则 由 4721 21 21 21 0.41281.1430-1 )21 (0.0675 2 .25842715 .71554172 .6260293 )21 (24.422291 zz zz zz zz 24.422291) 1 1 102(01.919) 1 1 102( 24.422291 1 1 32 1 1 3 z z z z 1 1 1 12 | )()( z z T s a sHzH 由双线性变换公式可得： 24.42229101.919 24.422291 2 ss 1) 8393924.649 (4142136. 1) 8393924.649 ( 1 )( 2 ss sH a 48 解解: :归一化的二阶巴特沃思滤波器的系 统函数为： 14142136. 1 1 12 1 )( 2 2 ss ss sH a 则将代入得出截止频率为 的模拟原型为 c s s 2002 cc f 1) 200 (4142136. 1) 200 ( 1 )( 2 ss sH a 49 由双线性变换公式可得： 18.39478458.888 18.394784 2 ss 1 1 1 12 | )()( z z T s a sHzH 18.394784) 1 1 102(58.888) 1 1 102( 18.394784 1 1 32 1 1 3 z z z z 21 21 4241. 01683. 11 )21 (064. 0 zz zz 50 8 8. . 某一低通滤波器的各种指标和参量 要求如下： （1 1）巴特沃思）巴特沃思频率响应，采用双线性双线性 变换法变换法设计； （2 2）当时，衰减小于3dB； （3 3）当时，衰减大于或等于 40dB； （4 4）抽样频率。 Hzf5 . 20 Hzf50 Hzf s 200 51 试确定系统函数,并求每级阶 数不超过二阶的级联系统函数。 )(zH 分析：分析：由模拟角频率先用线性变换变 成数字角频率（）， T 将数字滤波器 然后采用频率预畸法), 2 2 ( i i tg T 各临界频率变换成样本模拟滤波 器的各临界频率。i i 52 用这些来设计“样本”模拟滤波 器的系统函数，然后再用双线 性变换得到数字滤波器的系统函数。 )(sHa i 53 解： 3 s 105 f 1 T 2200 1 5022 40200 1 5 . 222 Tf Tf stst cc 采用双线性变换法采用双线性变换法: : ) 2 (tg T 2 54 由指标要求得： 40 4 tg400jH20 3 80 tg400jH20 a10 a10 | )(|log | )(|log 又 N2 c 2 a )(1 1 )j(H 故 )(log| )(|log N2 c 10a10 110jH20 55 取等号计算，则有： 40 ) 4 (400 1log10 3 ) 80 (400 1log10 2 10 2 10 N c N c tgj tgj 因而 56 )2(. 10/ )4/(400(1 ) 1 ( 10/ )80/(4001 42 3 . 02 N c N c tg tg 得 42. 1 )80/(/1log )110/() 110log( 2 1 3 . 04 tg N 取N=2 , 代入(1)式使通带边沿满足要 求，7 .15 c可得 57 又二阶归一化巴特沃思滤波器为： 1s4142136. 1s 1 )s(H 2 a 代入c /ss 5 .246s2 .22s 5 .246 )s(H 2 a 1 1 1 1 400 | )()( z z s a sHzH 由双线性变换 58 21 21 221 )1 (5 .246 )1 ( )1 (4002 .22)1 (400 5 .246 z z zz )895. 0889. 11 (11.686 21 10513665. 1 )21 ( 1019507. 310691265. 1 5 .246 21 21 25 21 155 zz zz z zz z 或者也可将N=2代入(2)中使阻带边沿满 足要求，可得，这样可得：40 c 1600s240s 1600 sH 2 a )( 14115z198z8686 zz21 zH 12 21 )( 59 看题目要求。 具体取值应，的系统传输函数 故得到不同先后两次取不同的值， 同的指标要求，为了满足通带、阻带不 c c zH )( 60 3 . 0 5 . 0 18、需设计一个数字低通滤波器,通带 内幅度特性在低于的频率衰减 在0.75dB内，阻带在到之 间的频率上衰减至少为25dB。采用冲激冲激 响应不变法响应不变法及双线性变换法双线性变换法,试确定模 拟系统函数及其极点，请指出如何得到 数字滤波器的系统函数。(设抽样周期 T=1)。 61 解解: : ( (1 1) ) 以以巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器为原型为原型 (a)(a) 冲激响应不变法冲激响应不变法 ：注意则有临界条件为 又 根据体意有： )/, 1( )(1 1 )( 25)(log20 75. 0)(log20 2 2 5 . 0 3 . 0 TT jH eH eH N c a j j 62 则有临界条件为： 5 . 2 2 075. 0 2 10 5 . 0 1 10 3 . 0 1 N c N c 047. 1 , 8 c N以上两式联解得： 根据极点公式 8,.,2 , 1, 2 12 2 1 keS N k j ck 63 可以求得此系统函数的极点为： 204. 0027. 1 582. 0871. 0 871. 0582. 0 027. 1204. 0 5 , 46, 3 7, 28 , 1 jsjs jsjs 由此可以得出系统函数的表示式为： )047. 1054. 2)(047. 1164. 1( 1 )047. 1408. 0)(047. 1742. 1( 2 . 1 )( 22 22 ssss ssss sH a 64 将此系统函数展成部分分式： 8 1 1 8 1 * 1 )( )( ,( k Ts k kk k a kkkk ze A zH ss A sH ASAS k ）极点的留数为则极点的留数为若 65 (b)(b) 双线性变换法双线性变换法 2 2 tg T 25) 2 5 . 0 2(log20 75. 0) 2 3 . 0 2(log20 10 10 tgjH tgjH a a 由题目所给指标可得： 66 由此可得临界条件为： )2(10 )25. 0( 21 ) 1 (10 )15. 0( 21 5 . 2 2 0750 2 N c N c tg tg 6524. 5NN可取 以上两式联解得： 67 根据极点公式 238. 1 )2(6)( c Ni 可得：满足要求， 式中，使阻带边沿代入将 )6,.,2 , 1(, 2 12 2 1 keS N k j ck 可得： 196. 132. 0 6, 1 js 875. 0875. 0 5 , 2 js 68 32. 0196. 1 4, 3 js 171. 1 ) 1 (6)( c Nii 可得：足要求， 式中，使通带边沿满代入将 此时极点应为： 131. 1303. 0 6, 1 js 828. 0828. 0 5 , 2 js 303. 0131. 1 4, 3 js 69 查表得归一化原型巴特沃思滤波器的 系统函数为： )8637033. 3 4641016. 7 1416202. 9 4641016. 78637033. 31/(1)( 65 43 2 6 ss ss sssH a )171. 1( | )()( 6 cs s aa c sHsH取则 则可求得 1 1 1 1 2 | )()( z z s a sHzH 70 654321 61 1 )1 FzEzDzCzBzAz zG（ 3 1055775. 4 0128198. 0286456. 1 2010734. 53580917. 8 8156311. 60932801. 3 G FE DC BA其中： 71 根据题目所给条件有： 5 . 0,3 . 0 5 . 0,3 . 0 TT st st c c stc 由题目所给指标可得： (2) (2) 以切贝雪夫滤波器为原型以切贝雪夫滤波器为原型 (a) (a) 冲激响应不变法冲激响应不变法 72 25)(log20 75. 0)(log20 5 . 0 3 . 0 j j eH eH 4342. 011075. 0 10 dB 1)( 1 )( max 2 2 jH A jH asta 10 25 log 2 10 A则 73 0086. 4 0986. 1 4039. 4 6667. 1 8905.40 1 1 1 1 1 21 ch ch ch Ach N c st 则可以求得：取 5N 74 0498. 1 2 1 3195. 0 2 1 8139. 41 11 5 1 5 1 5 1 5 1 2 b a kkk js极点 ) 12( 2 cos) 12( 2 sink N bjk N a cc 75 可得：取左半平面极点即5 , 4 , 3 , 2 , 1k 3011. 0 5816. 02436. 0 9410. 009305. 0 5 4, 3 2, 1 s js js 由此可以得出系统函数的表示式为： N ii a ss KsH 1 )( 1 )( )3011. 0)(3976. 04872. 0)(8941. 01861. 0( 22 sssss K 76 1070. 0 1 1070. 0 )0( K K jH可以解得根据 N k k k aa ss A sHsH 1 )( )()( 展成部分分式为：将 则可得系统函数为： N k Ts k ze A zH k 1 1 1 )( 77 2 2 5 . 0 2,091. 1 2 3 . 0 2 2 2 tgtg tg T stc 则 由于 根据题目所给条件有： 25)25. 0(2(log20 75. 0)15. 0(2(log20 10 10 tgjH tgjH a a (b) (b) 双线性变换法：双线性变换法： 78 则有： 227766.31610 1 )( 4342. 0110110 5 . 22 2 2 075. 0 10 A A jH sta 4004. 3 2951. 1 4039. 4 9626. 1 8905.40 1 1 1 1 1 21 ch ch ch Ach N c st 故 可得：取4N 79 0782. 1 2 1 4031. 0 2 1 8139. 41 11 5 1 5 1 5 1 5 1 2 b a 从而可知：0987. 14108. 0 cc ba 则左半平面两对极点为： 80 4205. 03795. 0 0151. 11572. 0 3 , 2 4, 1 js js 由此可得： 4 1 )( i i a ss K sH 3208. 00551. 1 9173. 0 1 1 )0( 04 )3208. 0759. 0)(0551. 13144. 0( 2 22 K jH N ssss K 时为偶数，故因为 81 3105. 0K从而得到 则所求系统函数为： )3208. 0759. 0)(0551. 13144. 0( 3105. 0 )( 22 ssss sH a :)(| )()( 1 1 1 12 zHsHzH z z T s a 即可求得利用公式 )4800. 04800. 11)(7787. 00362. 11 ( )1 (103560. 9 )8028. 26416. 88388. 5)(4262. 48898. 56839. 5( )13105. 0 )( 2121 413 2121 41 zzzz z zzzz z zH （ 82 已知。求出 ，并画出曲线。 分析：分析：此题给定的是理想线性相位低 通滤波器，故 21,5 . 0N c )(nh )(log20 j eH 。 - , , 0 - , )( cc cc j j d e eH 第七章习题 1、用矩形窗矩形窗设计一个FIR线性相位低通线性相位低通 数字滤波器数字滤波器。 83 解： deeHnh njj dd )( 2 1 )( )( )(sin 2 1 n n dee c cc njj c c 为其他 故： 其中 n n n n nwnhnh N d c ,0 200, )10( 2 sin )()()( 5 . 0 102/) 1( N为奇数，h（n）偶对称。 84 h( 0)=9.7654073033E-4 h( 1)=3.5358760506E-2 h( 2)=-9.7657600418E-4 h( 3)=-4.5465879142E-2 h( 4)=9.7651791293E-4 h( 5)=6.3656955957E-2 h( 6)=-9.7658322193E-4 h( 7)=-1.0610036552E-1 h( 8)=9.7643269692E-4 h( 9)= 3.1830877066E-1 85 h( 10)=4.9902343750E-1 h( 11)=3.1830900908E-1 h( 12)=9.7669276875E-4 h( 13)=-1.0610