互为反函数的函数图象间的关系.ppt

112互为反函数的函数图象间的关系 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1互为反函数的两个函数图象间的关系 2证明两个函数图象关于已知直线对称的方法 3加深理解函数和反函数的概念 (二)能力训练点 1掌握互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的关系 2学会证明两个函数图象关于已知直线对称的方法 3通过定理的教学，培养学生观察比较、归纳猜想、数形结合等能力 (三)德育渗透点 1渗透“由特殊到一般”的辩证思想 2培养学生化归的思想方法 3培养学生勇于探索、大胆猜想、严谨论证的良好思维习惯,二、教学的重点、难点、疑点及解决办法 1教学的重点与难点：定理的证明和应用 2教学的疑点：如何将两函数图象的对称性转化为平面上点的对称性问题 3解决办法：从具体实例入手 从点的对称性着眼 利用数形结合方法 三、课时安排 本课题安排1课时 四、教学过程设计 首先复习有关反函数的问题 师：(1)互为反函数的两个函数的定义域与值域有什么关系？,生：函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域 师：(2)已知函数y=f(x)存在反函数，如何求它的反函数？ 生：求反函数的步骤是由y=f(x)解出x=f-1(y)，然后x、y互换，得到反函数y=f-1(x) 师：很好，请大家根据反函数的有关知识，求下列各函数的反函数，并在同一个直角坐标系中，分别作出互为反函数的两个函数的图象 例1 (1)y=2x-1(xR)； (2)y=x3(xR)； (3)y=x2(x0),(请三位学生在黑板上画出各题的示意图146，147，148) 师：请大家仔细观察上述图象，并考虑问题：互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系 (让学生交流讨论，教师也可作适当的提示) 生：它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形 师：即互为反函数的两个函数图象是关于直线y=x对称 我们通过直观观察，判断得到两个互为反函数的图象关系，那么我们能否用数学方法加以严格证明呢？ 首先要明确什么叫做两个图形关于直线y=x对称呢？ (让学生讨论、交流，教师加以归纳概括),师：函数的图象可以看作是平面上的点集，所以研究图象的对称性就是研究平面上点的对称性这样我们的问题就转化为如何证明点关于直线y=x对称呢？ 生：根据平面几何知识，如果两点M、M关于直线l对称，那么l是线段MM的中垂线，也就是说，如果直线l上的任意一点1都有PM=PM成立，那么点M和M就关于直线l对称 师：这位同学从平几角度说明了点关于直线对称的含义，关键是要求直线l上的任意一点都有PMPM如果把这种关系转化为代数形式，问题就明朗多了 即在直角坐标系中，平面上的点可以用它的坐标表示，如果要证明两点M(a，b)，M(b，a)关于直线y=x对称，那么就意味着要证明什么呢？ 生：在直线y=x任取一点P(c、c) 师：为什么可以取P(c、c)？,生：因为直线y=x上的横坐标与纵坐标相等，这时连结PM、PM 因此点M，M关于直线y=x对称 师：思路正确，美中不足的是考虑还不够周到上述证明主要考虑了ab时的情况，对于a=b应作补充说明，即当a=b时，点M与M是直线y=x上的同一点，根据对称轴上的点与自身对称得M、M关于直线y=x对称 下面来看M(a、b)、M(b、a)之间还有什么关系 生：若M(a、b)在f(x)上，则M(b、a)在f-1(x)上 师：能否从反函数的定义出发说明这种关系 生：若点M(a、b)在y=f(x)的图象上，则b=f(a)，由反函数定义知a=f-1(b)，故点M(b、a)在y=f-1(x)图象上 师：有了上面的准备，我们可以给出定理：“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”的证明(带领学生阅读课本或用幻灯演示) ,证明：设M(a、b)是y=f(x)的图象上的任意一点，那么x=a时，f(x)有唯一的值f(a)=b，y=f(x)有反函数y=f-1(x)，x=b时，f-1(x)有唯一的值f-1(b)a，即点M(b，a)在反函数y=f-1(x)的图象上 如果a=b，那么M(a，b)，M(b，a)是直线y=x上的同一个点，因此它们关于直线y=x对称 现设ab，如图149，在直线y=x上任取一个点，P(c，c)，,由此可知，直线y=x上任意一点到两个定点M、M的距离相等，因此直线y=x是线段MM的垂直平分线，从而点M、M关于直线y=x对称 因为点M是y=f(x)的图象上的任意一点，所以y=f(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y=f-1(x)的图象上，由f(x)与f-1(x)互为反函数可知，函数y=f-1(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数y=f(x)的图象上，这就是说，y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称 这个定理的证明要抓住三个问题： (1)若点M(a、b)在y=f(x)上，则M(b、a)在y=f-1(x)上 (2)M、M关于y=x对称 (3诺M在y=f-1(x)上，则M也在y=f(x)上 函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x的对称性直观反映了互为反函数的两函数的内在联系，为进一步研究函数和反函数的图象和性质提供了有力的工具，下面我们运用这种工具解决一些问题 例2 画出函数y=x，x0，10的图象，再利用对称关系画出它的反函数的图象 (让一学生在黑板上板演，其余学生在练习本上画),方法1，描点法 方法2，运用互为反函数的图象关系作图150 例3 点(1，2)既在y=ax+b的图象上，又在它的反函数图象上，求实数a、b (由学生讨论、回答，教师板书) 法1：y=ax+b的反函数存在， a0(这一点容易忽视),法2：依题意知点(1，2)和(2，1)都在y=ax+b的图象上 从这两种解法可以看出解法2利用对称性，避免了求反函数 总结：这一节课主要研究了互为反函数的两个函数之间的关系，即它们是关于直线y=x对称的，这种关系直观地反映了互为反函数的两个函数的性质内在联系，为我们提供了根据函数y=f(x)的图象、性质来研究