学科教育论文-“糖水不等式”及其应用.doc

学科教育论文-“糖水不等式”及其应用摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家：在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要关键词我们在小学曾对不等式SX(12SX)SX(23SX)SX(34SX)SX(45SX)记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a,b,mR+，且ab，求证：SX（abSX)SX(a+mb+mSX)（*上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且一、不等式（*）的生活原型生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m不等式描述这一现象：SX(abSX)SX(a+mb+mSX)1由于此生活原型生动直观的刻划了不等式SX(abSX)SX(a+mb+mSX)1生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好。问同解：设a,b取决于SX(abSX)与SX(a+mb+mSX)作差法：SX(abSX)-SX(a+mb+mSX)=SX(ab+am-ba-bmb(b+m)SX)=SX(a-b)mb(b+m)SX)因为a,b,m0，且ab，所以SX（a-b)mb(b+m)SX)0所以SX(abSX)SX(a+mb+mSX)二、“糖水不等式”的证明此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3）分析法（4）综合法（5）构造函数法（6证法1：分析法：要证SX(abSX)SX(a+mb+mSX)只要证a(b+m)b(a+m)即证ambm,(m0)而ab证法：构造函数法：f(x)=SX(a+xb+xSX)=SX(b+x-b+ab+xSX)=1+SX(a-bb+xSX)因为a-b0，所以函数f(x)在(-b,+)故f(0)f(m)，即SX(abSX)SX(a+mb+mSX)证法3TPP0707.TIF,BPSX(a+mb+mSX)=SX(CSX(amSX)+11+SX(bmSX)SX)=SX(C1+SX(bmSX)SX(abSX)1+SX(bmSX)SX)，令=SX(bmSX)0,x1=1,x2=SX(abSX)由定比分点公式得SX(abSX)SX(a+mb+mSX)1三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用例（）若a,b,mR+，且ab，则SX（abSX),SX(a+mb+mSX)SX(baSX),SX(b+ma+mSX)从小到大的顺序为CD#4解：由“糖水不等式”得：SX(abSX)SX(a+mb+mSX)1，而SX(b+ma+mSX)1故ZZ(ZSX(abSX)SX(a+mb+mSX)SX(b+ma+mSX)ZZ)（）若a,b,m,c,dR+，且SX（abSX)SX(cdSX)，则SX（abSX),SX(a+cb+dSX)SX(cdSX)从小到大的顺序为CD#4解：设糖水1和2的浓度分别为SX(abSX)SX(cdSX)，将两种糖水混合的浓度为SX(a+cb+dSX)由生活原型1得：ZZ(ZSX(abSX)SX(a+cb+dSX)SX(cdSX)ZZ)例中，ABC中，A，B，C对的边分别为a,b,c求证：SX(aa+mSX)+SX(bb+mSX)SX(cc+mSX)因为a,b,c0,ca+b所以SX(cc+mSX)SX(a+ba+b+mSX)=SX(aa+b+mSX)+SX(ba+b+mSX)SX(aa+mSX)+SX(bb+mSX)故SX(cc+mSX)SX(aa+mSX)+SX(bb+mSX)例已知数列an是由正数组成的等比数列，前n项和Sn求证：SX(12SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+195全国理科高考25证明：WBSX(12SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+1DWSnSn+2Sn+12因为Sn+1WB=a1+a2+an+an+1DW=a1+q(a1+a2+an)DW=a1+qSn同理Sn+2=a1+qSn+1SnSn+1由结论（*）得SX(qSnqSn+1SX)SX(qSn+a1qSn+1+a1SX)即SX(SnSn+1SX)SX(Sn+1Sn+2SX)即SnSn+2Sn+12所以SX(12SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+1例4求证：SX(21SX)SX(43SX)SX(65SX)SX(2n2n-1SX)KF(2n+1KF)（98年高考文25证明：由结论（*）得SX(2n-12nSX)SX(2n-1)+12n+1SX)即SX(2n2n-1SX)SX(2n+12nSX)所以(SX(21SX)SX（43SX）SX（65SX）SX（2n2n-1SX)2(SX(21SX)SX（43SX）SX（65SX）SX（2n2n-1SX)（SX（32SX）SX（54SX）SX（76SX）SX（2n+12nSX)=2n+1所以SX(21SX)SX（43SX）SX（65SX）SX（2n2n-1SX)KF（2n+1KF)例6已知，i,m,nN+,1imn,证明：niPimmipin（2001高考理20证明：SX(nipimmipinSX)=JB(SX(nmSX)JB