2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修.docx

2.4.2抛物线的几何性质1掌握抛物线的简单几何性质(重点)2会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)3直线与抛物线的公共点问题(易错点)基础初探教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.类型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线的范围是xR.()(3)抛物线是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(5)抛物线x22py(p0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2抛物线y2px2(p0)的开口方向是_【解析】法一：y2px2(p0)可以看作是二次函数，2p0，开口方向向上法二：抛物线y2px2(p0)的标准方程是x2y，0，开口方向向上【答案】向上教材整理2抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为ABx1x2p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B02p，称为抛物线的通径1过抛物线y24x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为_【解析】易知线段AB为抛物线的通径，所以AB4.【答案】42如图242，过抛物线x24y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则OAB的面积是_图242【解析】F(0，1)，将y1代入得xA2，AB4，SOAB412.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型抛物线的几何性质(1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_【自主解答】(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)不妨设抛物线的方程为y22px，如图所示，AB是抛物线的通径，AB2p，又OFp，SOABABOF2ppp24，故p2.所以抛物线的方程为y24x.【答案】(1)x216y(2)y24x利用抛物线几何性质可以解决的问题1对称性：解决抛物线的内接三角形问题2焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题3范围：解决与抛物线有关的最值问题4焦点：解决焦点弦问题再练一题1(2016全国卷改编)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k_.【解析】y24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.【答案】2抛物线的最值问题求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离. 【导学号：09390044】【精彩点拨】本题的解法有两种：法一，设P(t，t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x3ym0与直线4x3y80平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离【自主解答】法一：设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d2.当t时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.抛物线中最值的求解策略1可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围2当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化再练一题2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_【解析】因为抛物线的方程为y24x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x1，所以设P到准线的距离为PB，则PBPF，P到直线l1：4x3y60的距离为PA，所以PAPBPAPFFD，其中FD为焦点到直线4x3y60的距离，所以FD2，所以距离之和最小值是2.【答案】2探究共研型抛物线的几何性质探究1从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？【提示】(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平探究2如何认识抛物线的焦点弦？【提示】如图，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)AB2(焦点弦长与中点关系)；(3)ABx1x2p；(4)若直线AB的倾斜角为，则AB；如当90时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2；(6).探究3设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径PF、焦点弦AB，如何表示【提示】标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)焦半径PFPFx0PFx0PFy0PFy0焦点弦ABABx1x2pABpx1x2ABy1y2pABpy1y2已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且ABp，求AB所在的直线方程【精彩点拨】求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，ABx1x2pp求解【自主解答】由题意可知，抛物线y22px(p0)的准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2p0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？【提示】直线与抛物线交点的个数等价于方程组的解的个数，也等价于方程ky22py2bp0的解的个数(1)若k0，当0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0)相交，有一个公共点特别地，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xm，则当m0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m0时，l与抛物线相切，有一个公共点；当m0，得2b10，即b0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为_【解析】通径长为2p.【答案】2p2过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_. 【导学号：09390046】【解析】PQx1x2210.【答案】103直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A，则实数b的值为_【解析】由得x24x4b0，因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.【答案】14已知抛物线C：yx2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为_【解析】由题意得l的方程为yx1，即x2(y1)代入抛物线方程，得y(y1)2，即y23y10.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1y2p5.【答案】55若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，求PAB的面积的最小值【解】由题意，得p2，直线AB过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x26x10，所以x1x26，x1x21，则AB8.设P，则点P到直线AB的距离为d，PAB的面积SABd2，即PAB的面积的最小值是2. 我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1抛物线焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5，则该抛物线的方程是_【解析】设抛物线的标准方程为y22ax(a0)，设A(m，3)由抛物线定义得5AF，又(3)22am，a1或a9，故所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.【答案】y22x或y218x2抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB4，则焦点到弦AB的距离为_【解析】由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)24x，x3，直线AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2.【答案】23在抛物线y216x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是_. 【导学号：09390047】【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为k，则直线方程为y1k(x2)，由消去x得ky216y16(12k)0，y1y22(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，k8，代入得y8x15.【答案】y8x154已知过抛物线：x的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x27，则AB的值为_【解析】因为x，所以y22x，所以抛物线的准线方程为x，根据抛物线的定义知AFx1，BFx2，所以ABAFBF1(x1x2)1(7)8.【答案】85直线yk(x1)与抛物线y28x有两个交点，则实数k的取值范围是_【解析】联立直线与抛物线方程，得所以ky28y8k0.由题意得解得k，且k0.所以实数k的取值范围是(，0)(0，)【答案】(，0)(0，)6已知抛物线E：y24x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点若，则直线PF的方程为_. 【导学号：09390048】【解析】抛物线E：y24x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QFd.，|d，直线的倾斜角为45或135，直线的斜率为1，直线的方程为xy10或xy10.【答案】xy10或xy107如图243是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.图243 【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意A(2，2)，代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2 m.【答案】28设点A的坐标为(a,0)(aR)，则曲线y22x上的点到A点的距离的最小值为_. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2(xa)2y2x2(2a2)xa2x(a1)2(2a1)因为x0，)，所以当a10，即a1时，d2a1，dmin；当a10，即a1时，当x0时，da2，dmin|a|.【答案】(a1)或|a|(a0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程【解】设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0(舍)或x，A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2，又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解】(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得，|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可化简为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.能力提升1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积为_【解析】由条件，不妨设lOA为yx，解方程组得x2p，所以A(2p,2p)故SAOB2(2p)(2p)4p2.【答案】4p22过抛物线yax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m，n，则_.【解析】由焦点弦性质，知，抛物线的标准方程为x2y(a0)，2p，p，4a，即4a.【答案】4a3已知抛物线yx2与双曲线x21(a0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线，