2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值讲义理（含解析）.docx

第2讲函数的单调性与最值考纲解读1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值1概念辨析(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)设任意x1，x2a，b且x1x2，那么f(x)在a，b上是增函数0(x1x2)f(x1)f(x2)0.()(3)函数yf(x)在0，)上为增函数，则函数yf(x)的增区间为0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dy3x2答案A解析y|x|在(0,1)上是增函数，y3x，y，y3x2在(0,1)上都是减函数(2)设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案1,1，5,7解析由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7(3)函数f(x)2x2，x1,2的最大值为_，最小值为_答案22解析f(x)2x2在1,0上是增函数，在0,2上是减函数，f(1)1，f(0)2，f(2)2，所以最大值为2，最小值为2.(4)函数y在(0，)上是增函数，则k的取值范围是_答案解析因为函数y在(0，)上是增函数，所以2k10，解得k0，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8在定义域内的单调递增区间函数tx22x8在(，2)上单调递减，在(4，)上单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D.3试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解解法一：设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增条件探究将举例说明1中“f(x)|x2|x”改为“f(x)x22|x|”，试写出其单调区间解f(x)x22|x|作出此函数的图象如右：观察图象可知，此函数的单调递减区间是(，1，(0,1；单调递增区间是(1,0，(1，)1确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：任取x1，x2D，且x10，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”如举例说明2. 1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)答案B解析因为函数f(x)ax1在R上递减，所以a1时，f(x)0.判断f(x)的单调性解设x1x20，则1，当x1时，f(x)0，f(x1)f(x2)f0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上为增函数题型 求函数的最值(值域)1(2018上饶模拟)函数f(x)x在上的最大值是()A. B C2 D2答案A解析因为函数f(x)x在上是减函数，所以f(x)maxf(2)2.2函数yx的最小值为_答案解析令t，则t0且xt21，所以yt21t2，t0，所以当t时，ymin.3函数y的值域为_答案解析y2，由xR得x2x12，所以，所以y的值域是.4(2018石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析解法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.解法二：依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1.条件探究1将举例说明1中“f(x)x”改为“f(x)x”，其他条件不变，如何解答？解f(x)x在2，1上是减函数，在上是增函数，且f(2)，f，所以f(x)max.条件探究2将举例说明2中“yx”改为“yx”，其他条件不变，如何解答？解由1x20可得1x1.可令xcos，0，则ycossinsin，0，所以1y，故所求函数的最小值是1.条件探究3将举例说明3中“y”改为“y”，其他条件不变，如何解答？解由y得x2，由x20知0，解得10，1sinx1等)确定函数的值域(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值如举例说明4.(4)换元法：形如求y(cxd)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解如举例说明2.(5)分离常数法：形如求y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解如举例说明3.另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述 1已知函数f(x)axlogax(a0，且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为_答案2解析因为f(x)axlogax(a0且a1)在1,2上为单调函数，所以由题意可得f(1)f(2)aa2loga2loga26，所以aa26，解得a2或a3(舍去)，所以a2.2已知定义在D4,4上的函数f(x)对任意xD，存在x1，x2D，使得f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最大值与最小值之和为_答案9解析作出函数f(x)的图象如图所示，由任意xD，f(x1)f(x)f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1x2|max8，|x1x2|min1，所以|x1x2|的最大值与最小值之和为9.题型 函数单调性的应用角度1比较函数值的大小1已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，所以aff，且2ac.角度2解不等式2已知函数f(x)则不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是()A(0，1) B(1，1)C(0，1) D(1，1)答案D解析作出函数f(x)的图象如图所示则不等式f(1x2)f(2x)等价于或解得1x1.角度3求参数的值或取值范围3已知函数f(x)对于任意x1x2都有0成立，则实数a的取值范围是()A(1,3 B(1,3) C(1,2 D(1,2)答案C解析根据题意，由0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1a2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小如举例说明1.(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域如举例说明2.(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值如举例说明3. 1(2019郑州模拟)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案C解析y1，所以当a30时，y的单调递增区间是(，a2)，(a2，)；当a30时不符合题意又因为y在(1，)上单调递增，所以(1，)(a2，)，所以a21，即a3，综上知，a的取值范围是(，32(2018河南百校联盟质检)已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)1，clog20，所以cba.因为f(x)2x2x2xx在R上单调递增，所以f(c)f(b)f(a)3已知函数f(x)的定义域为R，对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)log|3x