高考数学复习集合与常用逻辑用语3第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理.docx

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”(2)命题pq、pq、綈p的真假判断pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，p(x0)xM，p(x) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)命题pq为假命题，则命题p、q都是假命题()(2)命题p和p不可能都是真命题()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则pq是真命题()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词()(5)x0M，p(x0)与xM，p(x)的真假性相反()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 命题“x0R，xx010”的否定是()AxR，x2x10BxR，x2x10Cx0R，xx010Dx0R，xx010解析：选A.依题意得，命题“x0R，xx010”的否定是“xR，x2x10”，选A. 已知命题p：x0R，使sin x0；命题q：xR，都有x2x10，给出下列结论： 命题“pq”是真命题；命题“p(q)”是假命题； 命题“(p)q”是真命题； 命题“(p)(q)”是假命题其中正确的是()ABCD解析：选A.因为1，所以命题p是假命题又因为x2x10，所以命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断正确，故选A. (教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为_答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0” 若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_解析：因为0x，所以0tan x1，又因为x，tan xm，故m1，即m的最小值为1.答案：1全称命题、特称命题(高频考点)全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)全称命题、特称命题的否定；(2)判断全称命题、特称命题的真假性典例引领角度一全称命题、特称命题的否定 已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是()Ax1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Dx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0【解析】根据“全称命题q：xM，q(x)的否定是q：x0M，q(x0)”可知“p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0”【答案】C角度二判断全称命题、特称命题的真假性 (2018长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)x，则()Ax0R，f(x0)0Bx0，)，f(x)0Cx1，x20，)，f(x2)【解析】幂函数f(x)x的值域为0，)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x10时，结论不成立，选B.【答案】B(1)全称命题与特称命题的否定改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词否定结论：对原命题的结论进行否定(2)全、特称命题的真假判断方法要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题 (2018河南商丘模拟)已知f(x)sin xx，命题p：x，f(x)0，则()Ap是假命题，p：x，f(x)0Bp是假命题，p：x，f(x)0Cp是真命题，p：x，f(x)0Dp是真命题，p：x，f(x)0解析：选C.易知f(x)cos x10，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)0，所以f(x)0，所以命题p：x，f(x)0，ln(x1)0；命题q：若ab，则a2b2.下列命题为真命题的是()ApqBpqCpqDpq(2)已知命题p：对于任意的非零向量a，b都有ab|a|b|；命题q：对于任意的非零实数x，都有x2.则下列命题：pq，pq，p(q)，(p)q，(p)(q)，(p)(q)中正确的个数为()A2B3C4D5【解析】(1)当x0时，x11，因此ln(x1)0，即p为真命题；取a1，b2，这时满足ab，显然a2b2不成立，因此q为假命题易知B为真命题(2)对于任意的非零向量a，b，都有ab|ab|a|b|cos|a|b|，即命题p为真命题，故p为假命题；当x0成立；q：关于x的方程x2xa0有实数根如果pq为真命题，pq为假命题，则实数a的取值范围为_【解析】(1)当x0，3时，f(x)minf(0)0，当x1，2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m，故选A.(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2ax10成立”a0或所以0a4.当q为真命题时，“关于x的方程x2xa0有实数根”14a0，所以a.因为pq为真命题，pq为假命题，所以p，q一真一假所以若p真q假，则0a，所以a4；若p假q真，则即a0.故实数a的取值范围为(，0)(，4)【答案】(1)A(2)(，0)(，4) 若将本例(1)中“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：当x1，2时，g(x)maxg(1)m，由f(x)ming(x)max，得0m，所以m，即m的取值范围为，)根据命题的真假求参数的方法(1)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决如本例(1)及互动探究(2)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围，在求解过程中要注意分类讨论思想的应用，如本例(2)中，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解 通关练习1命题p：xR，ax2ax10，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A(0，4B0，4C(，04，)D(，0)(4，)解析：选D.因为命题p：xR，ax2ax10，所以命题綈p：x0R，axax010，则a0或解得a4.2已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“x0R，x4x0a0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是()A(4，)B1，4Ce，4D(，1)解析：选C.由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知ae，由q为真，知x24xa0有解，则164a0，所以a4.综上可知ea4. 含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p，q至少一个真(p)(q)假(2)pq假p，q均假(p)(q)真(3)pq真p，q均真(p)(q)假(4)pq假p，q至少一个假(p)(q)真(5)p真p假；p假p真 全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真 根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围 易错防范(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)复合命题的否定“p”的否定是“p”；“pq”的否定是“pq”；“pq”的否定是“pq” 1设两个命题p：对所有整数x，x210，q：对所有整数x，5x1是整数则()Ap是真命题，q是真命题Bp是真命题，q是假命题Cp是假命题，q是真命题Dp是假命题，q是假命题解析：选C.因为当x0时，x2110，所以p是假命题；因为q是真命题，所以选C.2(2018合肥市第二次教学质量检测)已知命题q：xR，x20，则()A命题q：xR，x20为假命题B命题q：xR，x20为真命题C命题q：xR，x20为假命题D命题q：xR，x20为真命题解析：选D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论又当x0时，x20成立，所以綈q为真命题，故选D.3(2018湖北武汉调研)命题“yf(x)(xM)是奇函数”的否定是()AxM，f(x)f(x)BxM，f(x)f(x)CxM，f(x)f(x)DxM，f(x)f(x)解析：选D.命题“yf(x)(xM)是奇函数”的否定是xM，f(x)f(x)，故选D.4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形有一个内角是钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，2解析：选B.A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x0时，x20，满足x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为()0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有2，所以D是假命题5(2018南昌模拟)已知命题p：“xR，x10”的否定是“xR，x10且a1)在R上是增函数，命题q：loga2log2a2(a0且a1)，则下列命题为真命题的是()ApqBpqC(p)qDp(q)解析：选D.当0a1时，yax在R上是减函数，因此p假，p真，当a时，loga2log2a2m”是真命题，则m的值可以是()AB1C. D.解析：选A.因为sin xcos xsin 2x，所以m.故选A.9已知命题p：xR，2x3x，命题q：xR，x22x，若命题(p)q为真命题，则x的值为()A1B1C2D2解析：选D.因为p：xR，2x3x，要使(p)q为真，所以p与q同时为真由2x3x得1，所以x0，由x22x得x2x20，所以x1或x2，又x0，所以x2.10已知命题p：xR，x210恒成立，则0m4，那么()A“p”是假命题Bq是真命题C“pq”为假命题D“pq”为真命题解析：选C.因为x212x，即x22x10，也即(x1)20恒成立，则m0或则0m0，当m0时，mx2x1”，则命题p可写为_解析：因为p是p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可答案：x0(0，)，x0114已知命题p：x24x30，q：xZ，且“pq”与“q”同时为假命题，则x_解析：若p为真，则x1或x3，因为“q”为假，则q为真，即xZ，又因为“pq”为假，所以p为假，故3x0”是真命题，故224m1，故a1.答案：116已知下列命题x0，sin x0cos x0；x(3，)，x22x1；xR，2x2；x，tan xsin x.其中真命题为_(填所有真命题的序号)解析：对于，当x时，sin xcos x，所以此命题为真命题；对于，当x(3，)时，x22x1(x1)220，所以此命题为真命题；因为2x0，所以2x22，当且仅当2x即x0时等号成立所以此命题为假命题；对于，当x时，tan x00的解集为R，则实数a(0，4)，命题q：“x22x80”是“x5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()ApqBp(q)C(p)(q)D(p)q解析：选D.命题p：a0时，可得10恒成立；a0时，可得解得0a0解得x4或x0”是“x5”的必要不充分条件，是真命题故(p)q是真命题故选D.2(2018湖北黄冈模拟)下列四个命题：若x0，则xsin x恒成立；命题“若xsin x0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsin x0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；命题“xR，xln x0”的否定是“x0R，x0ln x00时，xsin x000，即当x0时，xsin x恒成立，故正确；对于，命题“若xsin x0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsin x0”，故正确；对于，命题pq为真即p，q中至少有一个为真，pq为真即p，q都为真，可知“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件，故正确；对于，命题“xR，xln x0”的否定是“x0R，x0ln x00”，故错误综上，正确命题的个数为3，故选C.3已知命题p：x0R，x02lg x0；命题q：xR，x2x1lg 10成立，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2x10，即x2x10，1410.则命题“p(q)”是假命题；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是3；“设a，bR，若ab2，则a2b24”的否命题为：“设a，bR，若ab4”的否命题为：“设a，bR，若ab0，使函数f(x)ax24x在(，2上单调递减”，命题q：“存在aR，使xR，16x216(a1)x10”若命题“pq”为真命题，求实数a的取值范围解：若p为真，则对称轴x在区间(，2的右侧，则2，所以0a1.若q为真，则方程16x216(a1)x10无实数根所以16(a1)24160，所以a.因为命题“pq”为真命