基于Z变换的离散系统分析的设计说明书(理论部分).doc

目录 1摘要 2关键词：z变换定义；收敛域；系统的稳定性；系统的因果性；零、极点分布 2第一章序列的傅里叶变换 31、 将序列x(n)分成实部与虚部， 32、 将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分，x(n)= + 4第二章 Z变换的定义与收敛域 51、 Z变换的定义 52、Z变换的收敛域 53、 有限长序列Z变换的收敛域 64、右边序列Z变换的收敛域 65、左边序列Z变换的收敛域 66、双边序列Z变换的收敛域 7第三章 利用Z变换解差分方程 71、 求及 7第四章 离散系统的系统函数，系统的频率响应 81、 传输函数与系统函数 82、 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 83、 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性 9结论 11参考文献 11致谢 11摘要 介绍了z变换及其逆变换的基本概念，论述了利用极点判断方法判定系统稳定性的原理和系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，开始产生偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。只有稳定的系统才值得分析与研究。利用极点判断系统的稳定性，该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观的判定一个系统是否稳定，简便快捷。利用matlab分析控制系统的稳定性及系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，具有运算简单、操作方便、处理速度快、分析结果可靠等优点。由此可见，matlab为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。关键词：z变换定义；收敛域；系统的稳定性；系统的因果性；零、极点分布第一章序列的傅里叶变换对于频域函数，也可分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：式中，是共轭对称分量，是共轭反对称分量，它们满足： =，=且： ：共轭对称分量，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；：共轭反对称分量，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。下面研究DTFT的对称性，按下面两部分进行分析1、 将序列x(n)分成实部与虚部=+j（、都是实数序列） 则：式中：=DTFT=， =DTFTj=j。结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应于中的，虚部和j一起对应于中的。2、 将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n)= + =(+)=() 将上面两式分别进行DTFT，得到： DTFT=(+)=Re= DTFT=()=jIm=j =+j x(n)= + 结论：序列的共轭对称部分对应于的实部，而序列的共轭反对称部分对应于的虚部加j。应用：利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时，其DTFT的特性。h(n)是实序列，所以它所对应的DTFT：=，具有共轭对称性，的实部偶对称，虚部奇对称。 第二章 Z变换的定义与收敛域1、 Z变换的定义若序列为x(n)，则幂级数 （2.5.1）称为序列x(n)的Z变换，也称为双边Z变换。式中z为复变量，它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的Z变换表示为ZTx(n) = X(z) 2、Z变换的收敛域我们知道，是一幂级数，只有收敛时Z变换才有意义。X(z)收敛的条件是： (2.5.3)X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。一般收敛域用环状域表示。即： Z变换的公式 （2.5.1）常见的Z变换是一个有理函数，表示为： 分子多项式的根是的零点，分母多项式的根是的极点。在极点处Z变换不存在。因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。3、 有限长序列Z变换的收敛域有限长序列是指在有限区间n1nn2之间序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。有限长序列Z变换为，所以收敛域为0|z|。如n10，收敛域为0|z|。如n20，收敛域为0|z|。4、右边序列Z变换的收敛域右边序列是指在nn1时，x(n)有值，在nn1时， x(n)=0。其Z变换为此式右端第一项为有限长序列的Z变换，它的收敛域为0|z|，而第二项是z的负幂级数，它的收敛域为。综合此两项，只有两项都收敛时级数才收敛。所以右边序列Z变换的收敛域为。因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。收敛域为（也可以写成），所以，|z|=处Z变换收敛是因果序列的特征。5、左边序列Z变换的收敛域左边序列是指在nn2时，x(n)有值，nn2时，x(n)=0。其Z变换为 此式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为0|z|，第一项是正幂级数，收敛域为0|z|Rx+。综合此两项，只有两项都收敛时级数才收敛，所以左边序列Z变换的收敛域为0|z|Rx+。6、双边序列Z变换的收敛域这类序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。双边序列的收敛域为第三章 利用Z变换解差分方程 在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单 设N阶线性常系数差分方程为 (2.5.30)1、 求及对(2.5.30)求双边Z变换： =/=， h(n)= ZT-1=， y(n)= ZT-1第四章 离散系统的系统函数，系统的频率响应1、 传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位抽样序列d(n)的响应，称为系统的单位抽样响应h(n)。对h(n)进行傅立叶变换得到：=，一般称为为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。 将h(n)进行Z变换，得到，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。如已知系统的N阶线性常系数差分方程，进行双边Z变换，得到系统函数的一般表示式：如果的收敛域包含单位圆|z|=1则，与的关系：=。即单位圆上的系统函数就是系统的传输函数2、 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定满足：当n0时，h(n)=0，那么其系统函数的收敛域一定包含点。系统稳定要求，对照ZT定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。所以系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域表示为：r|z|，0r1。也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。3、 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性 = 将上式因式分解，得到： =A式中，是的零点，是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点和极点的分布。下面采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。 =A设系统稳定，将z=代入，得：=A 在z平面上，-用一根由零点指向单位圆上点B的向量表示。同样-用由极点指向点B的向量表示，如图2.6.2。将向量用极坐标表示：=，=，得到： =A= |A| (2.6.8) = （N=M） (2.6.9) 当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)和(2.6.9)分别估算出系统的幅度特性和相位特性。按照(2.6.8)知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。结论：以上设计就是我和组员的这几天的工作总结以及说明，我负责理论部分搭档负责程序部分，我们分工明确，认真负责。最后写出了这个总结，可能会有些错误或不严谨的地方希望老师能给出点评和指点。以后我们还会在此基础上更加认真地完成我们的工作。科学严谨地做工作。参考