高中数学第2讲参数方程1.2参数方程和普通方程的互化学案新人教A版.docx

第2课时参数方程和普通方程的互化1了解参数方程化为普通方程的意义2理解参数方程与普通方程的互相转化与应用(难点)3掌握参数方程化为普通方程的方法(重点)基础初探教材整理参数方程和普通方程的互化阅读教材P24P26，完成下列问题1曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程2如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)【解析】消去sin2，得x2y，又0sin21，2x3.【答案】C2圆x2(y1)22的参数方程为()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)【解析】由xcos ，y1sin 知参数方程为(为参数)故选D.【答案】D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型普通方程化为参数方程曲线的普通方程为1，写出它的参数方程【思路探究】联想sin2cos21可得参数方程【自主解答】设cos ，sin ，则(为参数)，即为所求的参数方程1将圆的普通方程化为参数方程：(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)；(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)2普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如xf(t)，再计算yg(t)，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t)，yg(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致再练一题1设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_【解析】把ytx代入x2y24y0得x，y，参数方程为(t为参数)【答案】(t为参数)利用参数思想解题已知x、y满足x2(y1)21，求：(1)3x4y的最大值和最小值；(2)(x3)2(y3)2的最大值和最小值. 【导学号：91060018】【思路探究】设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决【自主解答】由圆的普通方程x2(y1)21得圆的参数方程为(0,2)(1)3x4y3cos 4sin 445sin()，其中tan ，且的终边过点(4,3)55sin()5，145sin()9，3x4y的最大值为9，最小值为1.(2)(x3)2(y3)2(cos 3)2(sin 4)2268sin 6cos 2610sin()其中tan ，且的终边过点(4，3)1010sin()10，162610sin()36，所以(x3)2(y3)2的最大值为36，最小值为16.1参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁通过参数，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程它是研究解析几何问题的重要工具2运用参数思想解题的关键在于参数的选择选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数3(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题(2)注意运用三角恒等式求最值：asin bcos sin()其中tan (a0)，且的终边过点(a，b)再练一题2若本例条件不变，如何求的取值范围？【解】由于(0,2)，k，sin kcos k3，即sin()k3(由tan k确定)，sin().依题意，得1，21，解得k，即的取值范围是.探究共研型参数方程化为普通方程探究1参数方程为什么要化为普通方程？【提示】参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了探究2将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？【提示】(1)代入法先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程教科书例3(1)用的就是代入法(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数教科书例3(2)就用此法例如对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn)2(mn)24mn.在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】(1)运用加减消元法，消t；(2)当t0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状【自主解答】方程(a，b是正常数)，(1)sin cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线(2)()当t为非零常数时，原方程组为22得1，即(xa)2(yb)2t2，它表示一个圆()当t0时，表示点(a，b)1消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2cos21，(exex)2(exex)24，221等2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线再练一题3将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)(为参数，0)；(2)(为参数)；(3)(a，b为大于零的常数，t为参数)【解】(1)将两式平方相加，得x2y24.0，2x2,0y2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分(2)由得即xy0.0sin221，1sin221.即方程xy0表示一条线段(3)x，t0时，xa，)，t0)，求曲线C的普通方程【解】由x两边平方得x2t2，又y3，则t(y6)代入x2t2，得x22，3x2y60(y6)故曲线C的普通方程为3x2y60(y6)10已知P(x，y)是圆x2y22y0上的动点(1)求2xy的取值范围；(2)若xyc0恒成立，求实数c的取值范围【解】方程x2y22y0变形为x2(y1)21，其参数方程为(为参数)(1)2xy2cos sin 1sin()1其中由tan 2确定，12xy1.(2)若xyc0恒成立，即c(cos sin 1)对一切R恒成立(cos sin 1)的最大值是1，当且仅当c1时，xyc0恒成立能力提升1已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：cos0，则圆C截直线所得弦长为()A.B2C3D4【解析】圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为cos cos sin sin xy0，即xy0，圆心C(，1)到直线xy0的距离为d1，所以圆C截直线所得弦长|AB|224.【答案】D2已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_【解析】2cos 化为普通方程为x2y22x，即(x1)2y21，则其参数方程为(为参数)，即(为参数)【答案】(为参数)3若点(x，y)在圆(为参数)上，则x2y2的最小值是_【解析】法一：由题意可知，x2y2(32cos )2(42sin )22912cos 16sin 2920cos()，当cos()1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x3)2(y4)24，它表示圆令tx2y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin(2)29，所以x2y2的最小值为9.【答案】94在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；