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一、向量空间的基与维数,定义10 设 是向量空间,如果 个向量 ,且满足, 4.4 齐次线性方程组解的结构,(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基,说明,(3)若向量组 是向量空间 的一 个基,则 可表示为,(2)若把向量空间 看作向量组,那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,(1),二、齐次线性方程组的解空间,则上述方程组(1)可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量,它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,(2)若 为 的解, 为实数,则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,基础解系的定义,三、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数:,依次得,从而求得原方程组的 个解:,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系,则 其通解为,定理11,解,对系数矩阵 作初等行变换,变为行最简矩 阵,有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解,,其基础解系中有三个线性
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