人大版微积分第二章函数的连续性.ppt

莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.7 函数的连续性,函数连续性的定义,函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：, 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,注意,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例3,证,例4 证明,证,只须证明,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例7,解,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10 讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、连续函数的运算法则,定理,证明直接用极限的运算法则就可以了 如：,解,非初等函数连续性问题举例,解,四、在区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,1.有界性定理：,定理(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,2. 最大最小值定理（最值定理）：,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,3. 零点定理：,4. 介值定理：,推论：,f(x),g(x),证,构造辅助函数,介值定理的证明,例1,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例2,证,由零点定理,例3,证,由零点定理知,总之,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。,则有,且,解,试算,根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根,证,证,证,证,矛盾！,五、利用函数性连续求函数极限,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,注意,定理,七、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,练 习 题,练习题答案,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,注意,定理,七、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,第一类间断点,