向量及其线性运算(21).ppt

第八章,高等数学 （下）,空间解析几何与向量代数,8.1 空间向量及其线性运算,一、向量概念,向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量.(或矢量),2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量.,以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.,模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量， 它的方向可以看作是任意的.,特别,3. 自由向量,大小相等且方向相同,二、向量的线性运算,1. 定义1.1. 向量加法,(1) 平行四边形法则,设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作,(2) 三角形法则,将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为,2. 向量加法的运算规律.,(1) 交换律:,(2) 结合律:,例如:,3. 向量减法.,(2) 向量减法.,规定:,（a） 平行四边形法则.,将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为,（b）三角形法则.,将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为,4.数与向量的乘法,(1). 定义1.2:,实数与向量 的 为一个向量.,其中:,当 0时,当 0时,当 = 0时,(2). 数与向量的乘积的运算规律:,(1) 结合律:,(2) 分配律:,例1.1: 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD =,试用 表示向量MA, MB, MC, 和MD.,其中, M是平行四边形对角线的交点.,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量.,则,或,三、空间直角坐标系的建立,1. 空间直角坐标系,o,z,x,y,x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点O叫做坐标原点.,2. 坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,3.空间向量的表示.,（1）. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.,(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0.,(2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0,在 y 轴上, 则 x = z = 0,在 z 轴上, 则 x = y = 0,特别:,4. 空间向量的坐标表示,设点 M (x, y, z),以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量.,= xi + yj + zk,由于：,从而：,设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2),= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k),= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k,即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式,记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.,a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1),(2.2),两点间距离公式：,(2.3),由此得,(3). 运算性质,设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数, a b = (ax bx , ay by , az bz ), a = (ax , ay , az),证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k),= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k),= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k, a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ),(4) 两向量平行的充要条件.,设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),即ax =bx, ay =by, az =bz,于是,例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3),5. 两向量的夹角,规定：,四、向量的模与方向余弦的坐标表示式.,1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角, , , 称为a 的方向角.,2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余弦.,3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a =(ax, ay, az),又：,(2.4),(2.5),由(2.5)式可得,cos2 +cos2 +cos2 = 1,(2.6),设ao是与a同向的单位向量,ao,= (cos , cos , cos ),(2.7),例2.1. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.,例2.2: 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.,解: 设该点为M(0, 0, z),由题设 |MA| = |MB|.,即:,解得:,所求点为 M (0, 0, ),例2.3: 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.,（1）. 点在轴上投影,设有空间一点 A 及轴 u, 过 A 作 u 轴的垂直平面 ,平面 与 u 轴的交点A 叫做点 A 在轴 u 上的投影.,4.向量在轴上的投影,（2）. 向量在轴上的投影.,定义1.3: