周期信号的傅里叶级数.ppt

引言 时域分析中,以冲激信号(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和； 而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。,第三章 傅立叶变换,频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,本章主要内容,周期信号的傅立叶级数 非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的基本性质 周期信号和抽样信号的傅立叶变换,一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛,预备知识:完备的正交函数集,信号分解：,常用完备正交函数集： i)三角函数集：,ii)复指数函数集：,3.1周期信号的傅立叶级数,一、三角形式的傅立叶级数,1任意信号的三角形式傅立叶级数展开,3.1周期信号的傅立叶级数,ii),iii),i),为 的偶函数,为 的奇函数,2对于周期函数 ，由于 积分值与积分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1)，故在 均可以展成傅立叶级数,4其它三角形式,ii),iii),iv),i),为 的偶函数,为 的奇函数,viii)直流分量：c0,5周期信号的离散谱,ii)相位(频)谱:,i)幅度(频)谱:,特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频)谱,二、指数形式的傅立叶级数,1任意信号的指数傅立叶级数展开,2周期函数 积分值与 无关(只要积分区间 大小为T1)，故在 有,i),ii),iii),实 傅立叶级数的特点：,5负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。,每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。,理解：,三、函数对称性与傅立叶系数关系,1偶函数,偶函数只含直流项和余弦项,E,例1：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项,谱线间隔,零值点频率,指数形式：,若T1不变，减小一半,谱线间隔 只与周期T1有关，且与T1成反比；零值点频率 只与有关，且与成反比；而谱线幅度与T1和都有关系，且与T1成反比与 成正比。,若不变，T1扩大一倍,周期T1越大，谱线间隔越小（密集）,2奇函数,奇函数只含正弦项,例2：周期锯齿波只含正弦项,f(t),E/2,-E/2,t,0,3奇谐函数：,半周期对称,同理,奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦和余弦项,例3：含直流的周期锯齿波：,5去直流后为奇谐函数,例4：周期三角波含直流、基波和奇次谐波,f(t),6偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量,t,0,0,例5：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。,7奇函数&奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量,8偶谐函数：,同理,偶谐函数只含直流和偶次谐波的正弦和余弦项,9偶函数&偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量,10奇函数&偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项,11半波余弦、半波正弦类,例6：全波整流：只含直流、余弦分量,规律收敛,半波整流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量,规律收敛,四、功率特性，有限级数，最小方均误差 功率特性,称之为帕塞瓦尔方程,时域和频域的能量守恒：周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值平方和,其中 的交流功率为 , 有效值为,2.有限级数及最小方均误差,最小方均误差,有限级数的由来：,例7：对称方波,解：,i) 项数越多，误差越小，,P99,3.吉布斯现象,N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰