高数空间解析几何.ppt

曲面讨论的两个基本问题：,（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；,（2）已知方程 F (x, y, z ) =0，研究这方程的图形；,二、旋转曲面,定直线 L 称为旋转轴.,一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 .,绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程.,建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0,设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点，,过点 M 作平面垂直于 z 轴，交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )，,交曲线 C 于点M0( 0, y0, z0 ).,显然,x,y,z,O,因为 M0 在曲线 C 上，故 f ( y0 , z0 ) = 0,即得 C 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程:,同理, C 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程:,C,M0 .,P,. M,L,直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面,圆锥面的顶点 ,圆锥面的半顶角a ( 0 a p / 2),.,建立以顶点为原点,旋转轴为 z 轴, 半顶角为 a 的圆锥面方程,yoz 坐标面上直线L的方程 z = y cota,故 L 绕 z 轴旋转的方程 z = y cota,令 cota = a ,则所求圆锥面方程为,P25例 4,P26例 5,xoz 坐标面上的双曲线,分别绕 x、z 轴旋,转一周，求所得旋转曲面方程,绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面, 曲面方程为,绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面, 曲面方程为,yoz 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为,称为旋转抛物面.,当 a 0 时，旋转抛物面的开口向下.,一般地，,所表示的曲面称为椭圆抛物面。,x,y,z,O,请写出旋转椭球面方程,三、柱面,曲线 C 称为柱面的准线， 平移的动直线 L 叫柱面的母线.,动直线 L沿给定曲线 C 平移所形成的曲面称为柱面.,L,C,方程 f (x , y)= 0 在 xoy 平面上表示一条曲线 C,在 Oxyz 空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面S,设 xOy 平面上点 N (x , y) 在曲线 C 上,即 f (x , y)= 0,过 N 作z 轴平行线 l, 则l 上的点M (x , y , z),满足空间坐标系 Oxyz 中的三元方程 f (x , y)= 0,反之亦然,因此方程 f (x , y)= 0 在 oxyz 空间 坐标系中表示由平行 z 轴直线 l 沿曲线 C 平移所成曲面,. M,. N,平行于 z 轴的直线为母线的柱面.,方程 f(x, y)= 0 在空间表示以 xoy 坐标面上的 曲线为准线，,类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面.,方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线，平行于 y 轴的直线为母线的柱面.,简单地说，平面坐标系中的曲线方程在空间坐标系中就表示柱面-举例,椭圆柱面：,平行于z 轴的直线为母线.,xoy 坐标面上的椭圆为准线、,平行于 y 轴的直线为母线的柱面,方程 在空间表示以 xo z 坐标面上的椭圆为准线，,x,y,z,O,2,双曲柱面,平行于z 轴的直线为母线.,xoy 坐标面上的抛物线为准线、,平行于z 轴的直线为母线.,x,y,z,O,抛物柱面 x2 = ay,xoy 坐标面上的抛物线为准线、,三元二次方程,平面称为一次曲面,截痕法：,曲面形状,已知平行截面面积可计算体积; 已知平行截面形状可掌握曲面形状,四、二次曲面,所表示的曲面称为二次曲面.,二平面的交线是直线;,平面和曲面的交线是平面曲线;,二个曲面的交线是空间曲线;,曲面方程,平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）, 椭圆锥面,当 x=0为二条相交直线 y= bz,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的：,准线,顶点,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,锥面是直纹面,t是任意数,一般锥面-扩充知识点, 椭球面,1、椭球面与三个坐标面的交线：,2、椭球面 与平面 z=z0 的交线为椭圆,同理与平面 x = x0 和 y = y0 的交线也是椭圆.,3、椭球面 的几种特殊情况：,的旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转生成,可写成,方程可写为,由圆 绕 x 轴或 y 轴旋转生成的球面,x,y,z,O,双曲面,单叶双曲面,对垂直于z 轴的平面 z=z0,对垂直于y 轴的平面 y = y0,同样, 对垂直于x 轴的平面 x = x0,当 | y0|b,实轴沿 x 轴方向,当 | y0|b,实轴沿 z 轴方向,直纹面在建筑学上有意义,含两个直母线系,例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。,.,单叶双曲面是直纹面,双叶双曲面,单叶：,双叶：,.,.,.,在平面上，双曲线有渐近线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐近锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。,渐近锥面：,双曲面的渐近锥面,（二）抛物面,椭圆抛物面,用坐标面 xoy (z = 0) 与曲面相截 得坐标原点O(0,0,0),原点也叫椭圆抛物面的顶点.,x,y,z,o,与平面 z=z0 0 的交线为椭圆.,与平面 x=x0和 y=y0相交均截得抛物线线.,特殊地：当 a=b,这是由抛物线 y2=a2z 绕 z 轴旋转生成的旋转抛物面,时，方程变为,双曲抛物面（马鞍面）,对 z = z0 ,对应于 z00, 0 的截痕是双曲线,这些双曲线都以 z0=0所对应的直线 为共同渐近线,对 x = x0 是形状相同开口朝下的抛物线,对 y = y0 则是形状相同开口朝上的抛物线,双曲抛物面是抛物线 l 当其顶点沿抛物线L平行移动所产生的曲面,双曲抛物面是直纹面,当 x = x0,双曲抛物面（马鞍面）,是形状相同开口朝下的抛物线,抛物线的顶点坐标 ( x0 , ),顶点坐标满足,顶点轨迹是 xoz 平面上抛物线 马鞍面与xoz 平面相交的截痕,解,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题,思考题,表示双曲线.,解答,方程,表示怎样的曲线？,3、空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,空间曲线可视为二曲面的交线,P32 例1 方程组,x,y,z,表示的曲线,表示的空间曲线,P32例2 方程,球心在原点,半径为 a 的上半球面,圆柱面: 母线平行于z轴, 底面是直径为 a , 圆心 ( )的圆,圆柱底面参数化 :,参数q 的几何意义: 圆心角 ,0q 2p,代入球面方程得,抛物柱面 x2=1-z 和平面 y=0, z=0 及 x+y=1 所围立体,x,y,z,2 空间曲线的参数方程,空间曲线可视为二曲面的交线,空间动点M 在圆柱面 x 2 +y 2 =a 2上以角速率w 绕 z 轴旋转,同时又以线速率 v 沿平行于z 轴的正向上升( 其中w 、v 都是常数), 这时动点M的轨迹称为螺旋线. 试建立它的参数方程,解 取时间 t 为参数, t =0时动点位于 A (a,0,0),设时刻 t 时动点 M 位于 (x, y, z),设 M 在 xoy 平面上的投影M(x, y, 0),螺旋线的参数方程,逃逸实验: 0-0试验,逃逸塔 塔高8米,位于飞船顶部,它装有10台发动机,L,C,设 L 为已知空间曲线, P 为已知平面,三、空间曲线在坐标面上的投影,则以 L 为准线，垂直于 P 的直线为母线的柱面称为L 关于 P 的投影柱面,投影柱面与平面P 的交线 C 称为曲线 L 在平面P 上的投影曲线.,特别是以 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面称为L 关于 xoy面的投影柱面, 曲线 C 称为 L 在xoy上的投影曲线.,曲线 L 在 xoy 面上的投影柱面 H(x,y) = 0,曲线,类似地：空间曲线 在,面上的投影曲线,面上的投影曲线,问题:各个投影柱面方程是什么?理由是什么?,曲线必在柱面上;柱面必包含曲线,例,求二球面的交线,在 xo y 坐标面上的投影曲线方程.,解,这就是消去z后所得在 xoy 坐标面的投影柱面方程，,因而曲线 C 在 xo y 坐标面上的 投影曲线是椭圆.,把 x2+ y 2+z2 =1 代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 y+z=1,把 y+z=1 代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 x2 +2y 2 -2y =0,例,解,半球面和锥面的交线为,圆,例,求曲线,在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.,解, 关于xo y 坐标面的投影柱面方程,因而曲线 在 xo y 坐标面上的投影曲线是圆.,消x得到曲线 关于 yoz 坐标面的 投影柱面的方程, 在 y oz 坐标面的投影曲线