《定积分5应用》PPT课件.ppt

第四节 定积分的应用,二 平面图形的面积,三 立体的体积,四 平面曲线的弧长,一 定积分的元素法,五 旋转曲面的面积,( ),d,o, +d,r =r( ),元素法,1 取极角为积分变量， 其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,.,.,曲边扇形的面积,dA,A,3 作定积分,.,r,极坐标系情形,例4. 求如图所示区域D的面积，,解:圆弧ABCO 的极坐标方程：,例5.,解: 图形与y轴对称，只需求右半部分，解方程组,练习. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),练习. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,设立体在x轴上的投影区间为a, b, 立体内垂直于 x轴的截面面积为A(x).,立体的体积元素为,三 求立体体积-平行截面面积为已知的立体的体积,A(x)dx.,A(x),dV=A(x)dx,x,.,a,V,b,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,(x, y),截面积,A(x),.,例1 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔, 求其体积。,.,三、求立体的体积-旋转体的体积,f(x),a,b,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转 一周，求所产生的旋转体的体积。,y,连续曲线段,的立体体积时,则对应于小区间,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,旋转一周围成,的体积元素为,例2. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,例3.,练习. 求圆,绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.,解. 所求体积为:,四、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的, 且其长为S.,注: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(P243),(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证, P243),例4 求摆线xa(sin), ya(1cos)的一拱(02 )的长度.,解,于是所求弧长为,弧长元素为,例5. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,(P301 公式29),练习：p-250习题5-4 6, 11, 16,21, 24, 26,五、旋转曲面的面积,设母线y=f(x)是a,b上的一条光滑的曲线,此曲线绕x轴旋转一周而成旋转曲面, 则此旋转曲面的面积为,(P245),例6,解,例6,解,练习. 计算由椭圆,绕 x 轴旋转, 求所成曲,面的面积.,解: 椭圆的参数方程,则,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,2. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,3. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,4. 旋转曲面的面积,面积微元:,R,x,o,y,R,例 11 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线 段为顶，高为h的正劈锥体的体积. (P251-11),R,x,o,x,A(x),A(x