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文档简介
矢量运算的基本知识和微积分初步,标量只有大小(当然有正负),例如:质量、长度、时间、密度、能量、温度等。,矢量既有大小又有方向,并有一定的运算规则,例如:位移、速度、加速度、力等。,矢量运算基础,1、矢量的定义:,2、矢量的几种表示方式:,大小,3、矢量相等: 大小相同,方向相同。 标量不能与矢量相等,即:,(矢量的模),字母上面加箭头,或用黑体字(课本),解析表示:,几何表示:有指向的线段,矢量运算基础,4、矢量的运算法则:,(1) 加减法 含平行四边形法则和三角形法则,矢量运算基础,(2) 数乘,一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量,,如:,矢量运算基础,(3)矢量的分解 在一个平面内,若存在两个不共线的矢量 则平面内的任一矢量可以分解为:,在直角坐标系,,其大小,矢量运算基础,矢量运算基础,同一方向上的分量的运算如同标量一样。,不同方向上的分量不能合并同类项,要按矢量加法法则叠加。,矢量运算基础,(4)矢量的标积(点积,点乘),特别注意:,若,可能,矢量运算基础,矢量运算基础,遵守交换律,遵守分配律,标积的性质:,(5)矢量的矢积(叉积、叉乘),是一个轴矢量,方向:,大小:平行四边形面积,右手螺旋前进,右手四指由叉乘号前的矢量方向,沿小于的夹角旋转到叉乘号后的矢量方向时拇指的指向。积矢量垂直于两叉乘矢量所确定的平面。,矢量运算基础,矢积的性质:,不遵守交换律,但遵守分配律,矢量运算基础,(6)矢量的非法运算包括,矢量与标量不能相等。 !,即:矢量不能作除数、取对数; 不能开方、作指数。,注意:严格区分矢量的叉乘与点乘! “”、“ ”不能随便乱用。,矢量运算基础,(7)矢量的导数还是个矢量,若在直角坐标系,坐标轴方向不变,各分量互不相干,分别求导。如:,但一般,(除非定向运动。),如:速度的导数是加速度,速率的导数是加速度的切向分量。,矢量运算基础,即:矢量的导数的模一般不等于矢量的模的导数,在直角坐标系中,矢量运算基础,(8)矢量的积分,第一种情况:,矢量运算基础,第二种情况,对矢量点乘积分:,还有,对矢量叉乘积分,以后在电磁学里再讲。,矢量运算基础,(一)、导数的概念,微积分基础,引例:讨论物体作变速直线运动的速度问题,1、导数的定义,2、导数的几何意义:,例、求曲线 在(1,1)点处的切线方程,3、微分的定义:,(二)导数的计算,1、用定义求导数,例1,已知: 求:,解:,初等函数的导数公式,积分学初步,(一) 不定积分的概念,已知函数 ,如果存在一函数 ,使得 则称 为 的一个原函数。由于常数C的导数恒等于零,因此,任意可积函数的原函数都有无穷多个。 原函数 又称 的不定积分,记为:,一、不定积分,(二) 不定积分的基本性质,(三) 常用不定积分公式,二 、定积分,(一)、定积分的概念,设一元函数y=f(x) ,在区间(a, b)内有定义。将区间(a, b)分成n个小区间(a, x0) (x0, x1) (x1, x2) .(xi, b) 。设 xi=xixi-1,取区间xi中曲线上任意一点记做f(i),做和式:,若记为这些
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