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第六节 极限存在准则 两个重要极限,内容提要 1. 两个极限存在准则； 2. 两个重要极限。 教学要求 1.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）； 2. 熟练掌握用两个重要极限求极限 。,(1),(2),一、极限存在准则,1.夹逼准则,注：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注:,上述两个准则称为夹逼准则.,例1 求,解,由夹逼定理得,又,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,作单位圆,1.对于,情形,有,证:,x,恒,由夹逼准则,证毕,（偶函数），,注意：,解,例 1 求,例2 求,例3 求,解,解,例4 求,解,解,因此,解,练习,解,解 令,解,解,证明略,解,解法一,所以,解法二,解,所以,(3)互倒,注意：,解,解,解,小结,二、两个重要极限,重要极限二 ：,(3)互倒,夹逼准则; 单调有界准则 .,一、两个准则,作 业 P56习题1-6 1(1)(3)(5) 2 (1)(2)(3),第六节 无穷小的比较,内容提要 无穷小量的比较。 教学要求 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的 性质以及一些常见的等价无穷小。,两个无穷小的和、差、积,函数,都是无穷小。,但是,极限的变量,“阶”的概念。,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,设a,b,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的k 阶无穷小;,则称是 的等价无穷小,记作,例如,可以证明,:,有下列等价无穷小：,有下面定理：,定理1.,定理2,证明,这种解法是错误的！,解,正确的解法如下.,正确的解法如下.,解,注意：,用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用 无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或 分母的因式，而对分子或分母中“+”，而对分 子或分母中“+”，部分不能分别作替换。,小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高
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