（新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第四节双曲线讲义（含解析）.docx

第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案：442经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_答案：13已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_答案：考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支例1(1)(2019宁夏育才中学月考)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17 D以上均不对(2)已知点P在曲线C1：1上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则|PQ|PR|的最大值是()A6 B8C10 D12解析(1)根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8PF21或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|PC3|8.|PQ|max|PC2|1，|PR|min|PC3|1，所以|PQ|PR|的最大值为(|PC2|1)(|PC3|1)|PC2|PC3|28210.故选C.答案(1)B(2)C方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型类型一与双曲线1有公共渐近线的双曲线方程可设为(0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为yx或yx，则可设双曲线方程为(0)类型三与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为1(mn0)或者1(mn0)类型五与椭圆1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b2a2)例2(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.又双曲线的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，所以b3.又由e2，知a2b24a2，所以a.所以双曲线的方程为1.法二：由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1，故选C.答案C方法技巧求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解1.虚轴长为2，离心率e3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则ABF2的周长为()A3 B16C12 D24解析：选B2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知：|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B.2.设k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A长轴在x轴上的椭圆 B长轴在y轴上的椭圆C实轴在x轴上的双曲线 D实轴在y轴上的双曲线解析：选Dk1，1k0，k210，方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.3.已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：选C法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得无解故该双曲线的标准方程为x21，选C.法二：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为yx，即x，所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.突破点二双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直()答案：(1)(2)二、填空题1双曲线1的渐近线方程为_答案：3x4y02若双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标是(3,0)，则k_.答案：13双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为_答案：或考法一渐近线问题例1(1)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)(2019郑州一中入学测试)已知抛物线x28y与双曲线x21(a0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|5，则该双曲线的渐近线方程为()A5x3y0 B3x5y0C4x5y0 D5x4y0解析(1)e，a2b23a2，ba.渐近线方程为yx.(2)设点M(x0，y0)，则有|MF|y025，所以y03，x24，由点M(x0，y0)在双曲线x21上，得x1，即241，解得a2，所以双曲线x21的渐近线方程为x20，即3x5y0，选B.答案(1)A(2)B方法技巧求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0)考法二离心率问题例2(1)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A.B2C. D.(2)(2018长春二测)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A. B.C(1,2 D.解析(1)不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF2|，由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca，可得ca，解得，即e，又双曲线的离心率e1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.答案(1)C(2)B方法技巧求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解1.已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选B由于双曲线1(m0)的焦点在y轴上，且在直线xy5上，直线xy5与y轴的交点为(0,5)，所以c5，m925，则m16，则双曲线的方程为1，则双曲线的渐近线方程为yx.故选B.2.若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.3.(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选De ，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.4.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平