2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第讲推理与证明专题突破讲义文.doc

第4讲推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现2直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题热点一归纳推理1归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理2归纳推理的思维过程如下：例1(1)(2017日照市模拟)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n(nN*)个等式：_. n个根号答案2cos 解析因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以2cos.(2)(2017届云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵：1按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为_答案解析前15行共有120所求为a122.思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练1(1)(2017贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式：，4，12，照此规律，第n个不等式为_答案解析由归纳推理可得，第n个不等式为b0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为1.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比跟踪演练2(1)(2017哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有_.答案解析由题设可得 (其中是射线PL与平面PAB所成的角)(2)已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数ch x与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_答案ch(xy)ch xch ysh xsh y(答案不唯一)解析ch xch ysh xsh y(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，同理可得ch(xy)ch xch ysh xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y.热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法例3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，求证：bnbn2b.(1)解由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)证明由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(b2b1)b12n12n2212n1 (n2)又b11211，所以bn2n1 (nN*)因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn21)，证明：方程f(x)0没有负根证明(1)要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假设x0是f(x)0的负根，则x00，且x01，所以解得x02，这与x00，则第n个不等式为_押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大答案xn1解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n1时，为；当n2时，为；当n3时，为；显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，所以不等式左边的式子为x，显然不等式右边的式子为n1，所以第n个不等式为xn1.3设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列Sn不是等比数列押题依据反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法证明假设Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故Sn不是等比数列A组专题通关1(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是()A因为函数ysin x(xR)的值域为1,1，2x1R，所以ysin(2x1)(xR)的值域也为1,1B昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿 C在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若ab，bc则ac，将此结论放到空间中也是如此D如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论答案C解析C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理2(2017届三湘名校教育联盟联考)下面结论正确的是()一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式ann(nN*)；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的A BC D答案D解析所给条件无法确定整个数列满足通项公式例如第四项是否为4，错误；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合情推理，正确；类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适， 错误；所给命题满足三段论推理，但其结论却是错误的，正确故选D.3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案C解析假设a，b，c都大于2，即a2，b2，c2，将三式相加，得abc6，又因为a2，b2，c2，所以abc6，所以假设不成立，故选C.4(2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市二模)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为()A42 B65C143 D169答案B解析由题设可知当n4时，对角线的条数f(4)2311；当n5时，对角线的条数f(5)5611；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系f(n)1.当n13时，对角线的条数f(13)165，故选B.5(2017届江西师范大学附属中学月考)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A甲 B乙C丙 D丁答案B解析乙、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾，乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯6(2017届湖南长沙长郡中学模拟)设函数f(x)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，当nN*时，由归纳推理可得fn(1)_.答案解析通过条件归纳推理可知fn(x)，fn(1).7(2017江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学联考)观察以下三个不等式：(122232)(324252)(132435)2；(7292102)(6282112)(76981011)2；(2023022 0172)(9929022 0162)(209930902 0172 016)2若2xyz7，x，y，zR时，则(x1)2(y2)2(z1)2的最小值为_答案解析(x1)2(y2)2(z1)2(221212)(2x2y2z1)24，故(x1)2(y2)2(z1)2.8(2017届山东省枣庄市第三中学二调)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”，2335,337911,4313151719，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是39，则m的值为_答案6解析依据题设中所提供的等式很容易发现其规律：532123252729,63313335373941，所以m6.9如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析由题意知，凸函数满足f，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin Asin Bsin C3sin3sin.10已知a，b，m为非零实数，且a2b22m0，12m0.(1)求证：；(2)求证：m.证明(1)(分析法)要证成立，只需证(a2b2)9，即证149，即证4.根据基本不等式，有2 4成立，当且仅当b22a2时“”成立所以原不等式成立(2)(综合法)因为a2b2m2，2m1，由(1)知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因为a2b2m20.所以m2，故m1舍去，所以m.B组能力提高11(2017北京市海淀区期末)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示将小圆盘逆时针旋转i (i1,2,3,4)次，每次转动90，记Ti (i1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1y2x2y3x3y4x4y1.若x1x2x3x40，y1y2y3y40，又(x1x2x3x4)(y1y2y3y4)T1T2T3T40，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A.12(2017届陕西省黄陵中学月考)有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在九章算式方田章源田术(刘徽注)中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定出来x2，类似地可以把循环小数化为分数，把0.化为分数的结果为_答案解析设0.x，则x0.36，x.13埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如(n5,7,9,11)的分数的分解：，按此规律，_；_(n5,7,9,11)答案解析，表示两个面包分给7个人，每人，不够，每人，余，再将这分成7份，每人得，其中4，287；，表示两个面包分给9个人，每人，不够，每人，余，再将这分成9份，每人得，其中，5，459.按此规律，表示两个面包分给11个人，每人，不够，每人，余，再将这分成11份，每人得，所以，其中，6 ,6611，.14某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解方法一(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin co