2018版高中数学第一章三角函数1..1正弦函数余弦函数的图象导学案新人教A版必修.doc

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一正弦函数、余弦函数的概念思考从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应.由这个对应法则所确定的函数ysin x(或ycos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；等分单位圆，作正弦线：从O1与x轴的交点A起，把O1分成12等份.过O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，2等角的正弦线；找横坐标：把x轴上从0到2这一段分成12等份；找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数ysin x，x0，2的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ且k0的图象与函数ysin x，x0，2)的图象的形状完全一致.于是只要将函数ysin x，x0，2)的图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysin x，xR的图象，如图.思考2如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案把ysin x，xR的图象向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xR的图象.梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考1描点法作函数图象有哪几个步骤？答案列表、描点、连线.思考2“五点法”作正弦函数、余弦函数在x0，2上的图象时是哪五个点？答案画正弦函数图象的五点(0，0)(，0)(2，0)画余弦函数图象的五点(0，1)(，1)(2，1)梳理“五点法”作正弦函数ysin x、余弦函数ycos x，x0，2图象的步骤：(1)列表x02sin x01010cos x10101(2)描点画正弦函数ysin x，x0，2的图象，五个关键点是(0，0)，(，0)，(2，0)；画余弦函数ycos x，x0，2的图象，五个关键点是(0，1)，(，1)，(2，1).(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图.解(1)取值列表：x02sin x010101sin x10121描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即ysin x或ycos x的图象在0，2内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1用“五点法”作出函数y1cos x(0x2)的简图.解列表如下：x02cos x101011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图.类型二利用正弦、余弦函数的图象求定义域例2求函数f(x)lg sin x的定义域.解由题意，得x满足不等式组即作出ysin x的图象，如图所示.结合图象可得x4，)(0，).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2求函数y 的定义域.解为使函数有意义，需满足即0sin x.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为x|2kx2k或2kx2k，kZ.类型三与正弦、余弦函数有关的函数零点问题命题角度1零点个数问题例3在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程sin xlg x的解的个数.解建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0，2的图象，再向右连续平移2个单位，得到ysin x的图象.描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin xlg x的解有3个.反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3方程x2cos x0的实数解的个数是 .答案2解析作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个实数解.命题角度2参数范围问题例4方程sin(x)在0，上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和.解作出y1sin(x)，y2的图象如图，由图象可知，要使y1sin(x)，y2在区间0，上有两个不同的交点，应满足1，即m2.设方程的两实根分别为x1，x2，则由图象可知x1与x2关于x对称，于是x1x22，所以x1x2.反思与感悟准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析.跟踪训练4若函数f(x)sin x2m1，x0，2有两个零点，求m的取值范围.解由题意可知，sin x2m10在0，2上有2个根，即sin x2m1有两个根，可转化为ysin x与y2m1两函数的图象有2个交点.由ysin x图象可知，12m11，且2m10，解得1m0，且m.m(1，)(，0).1.用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A.0，2 B.0，C.0，2，3，4 D.0，答案B解析“五点法”作图是当2x0，2时的x的值，此时x0，故选B.2.下列图象中，ysin x在0，2上的图象是()答案D解析由ysin x在0，2上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.3.函数ycos x，x0，2的图象与直线y的交点有 个.答案2解析作ycos x，x0，2的图象及直线y(图略)，可知两函数图象有2个交点.4.函数y的定义域为 .答案2k，2k，kZ解析由题意知，自变量x应满足2sin x10，即sin x.由ysin x在0，2的图象，可知x，所以y的定义域为，kZ.5.请用“五点法”画出函数ysin的图象.解令X2x，则x变化时，y的值如下表：X02xy000描点画图：将函数在上的图象向左、向右平移即得ysin的图象.1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数yasin xb的图象的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0，2内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.课时作业一、选择题1.对于正弦函数ysin x的图象，下列说法错误的是()A.向左右无限伸展B.与ycos x的图象形状相同，只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案D解析由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确.2.用五点法画ysin x，x0，2的图象时，下列哪个点不是关键点()A. B.C.(，0) D.(2，0)答案A解析易知不是关键点.3.已知f(x)sin，g(x)cos，则将f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g(x)的图象答案D解析f(x)sin，g(x)coscossin x，f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.4.函数ysin x，x的简图是()答案D5.方程sin x的根的个数是()A.7 B.8 C.9 D.10答案A解析在同一坐标系内画出y和ysin x的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根.6.函数ycos x|cos x|，x0，2的大致图象为()答案D解析由题意得y显然只有D合适.7.若函数y2cos x(0x2)的图象和直线y2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A.4 B.8 C.2 D.4答案D解析作出函数y2cos x，x0，2的图象，函数y2cos x，x0，2的图象与直线y2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又OA2，OC2，S阴影部分S矩形OABC224.二、填空题8.函数f(x)lg cos x的定义域为 .答案解析由题意，得x满足不等式组即作出ycos x的图象，如图所示.结合图象可得x.9.函数ysin x，x0，2的图象与直线y的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 .答案3解析如图所示，x1x223.10.函数f(x)则不等式f(x)的解集是 .答案x|x0或2kx2k，kN解析在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y的图象(图略)，由图易得x0或2kx2k，kN.11.设0x2，且|cos xsin x|sin xcos x，则x的取值范围为 .答案解析由题意知sin xcos x0，即cos xsin x，在同一坐标系画出ysin x，x0，2与ycos x，x0，2的图象，如图所示.观察图象知x.三、解答题12.用“五点法”画出函数ysin x，x0，2的简图.解(1)取值列表如下：x02sin x01010sin x(2)描点、连线，如图所示.13.利用正弦曲线，求满足sin x的x的集合.解首先作出ysin x在0，2上的图象，如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为和；作直线y，该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为和.观察图象可知，在0，2上，当x或x时，不等式sin x成立.所以sin x的解集为x|2kx2k或2kx2k，kZ.四、探究与拓展14.已知函数y2sin x(x)的图象与直线y2围成一个封闭的平面图形，那么此