2018高中数学第1章立体几何初步第二节点直线面的位置关系7点到面的距离和线面角学案苏教版.docx

点到面的距离和线面角一、考点突破知识点课标要求题型说明点到面的距离和线面角1. 理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角；2. 理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离选择题填空题解答题求点到面的距离和斜线与平面所成的角其实质是垂直关系的应用，其中寻找一个点在平面内的射影是解决问题的难点。二、重难点提示重点：掌握点到面的距离和线面角的解法。难点：如何寻找点在平面内的射影。考点一：点到平面的距离1. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。2. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。【要点诠释】直线到平面的距离常常转化为点到平面的距离求解。【规律总结】 求点面距离的常用方法 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形。 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解。 体积法：利用三棱锥的特征转化位置来求解。（后面章节）考点二：直线和平面所成的角1. 斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。2. 正投影过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面内的射影，如图所示。3. 直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角。（2）范围：设直线与平面所成的角为，则090。（3）画法：如图所示，斜线AP与平面所成的角是PAO。【核心归纳】求解斜线和平面所成的角的一般步骤是： 确定斜线与平面的交点即斜足； 经过斜足上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影； 求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形。【核心突破】求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，其反映了空间问题平面化的思想。【难点剖析】确定点的射影位置有如下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的角平分线上； 利用某些特殊棱锥的有关性质，确定顶点在地面上的射影。除此还有其他方法，需要用到后面所学内容。【随堂练习】如图，BOC在平面内，OA是平面的斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa。则OA与平面所成的角为 。思路分析：答案：如图，作AHBC于点H，连接OH，OAOBOC，AOBAOC60，AOB与AOC均为等边三角形，ABACa，又BCa，AB2AC2OB2OC2BC2，ABC与OBC均为等腰直角三角形，H为BC的中点，且OHBC，又AH2OH2（a）2（a）2a2OA2，AHOH，BCOHH，AH平面，OH为OA在平面内的射影，即AOH为OA与平面所成的角，RtOAH中，sinAOH，且AOH为锐角，AOH45，即OA与平面所成的角为45。技巧点拨：1. 本题在判断AH与OH间的关系时，借助了勾股定理，通过数量关系证明AHOH。2. 解决线面垂直问题的常用方法（1）利用勾股定理的逆定理。（2）利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线。（3）利用线面垂直的定义。（4）利用平行转化，即ab，bc，则ac。3. 对于线面角的计算，通常借助垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形求解。例题1 （点面距离和线面距离）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离。思路分析：B到平面EFG的距离转化为O到平面EFG的距离，在三角形中计算长度。答案：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC，设EF、BD分别交AC于点H、O，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD的中点，故EFBD，H为AO的中点，BD平面EFG，点B到平面EFG的距离就等于BD到平面EFG之间的距离，过点O作OKGH，垂足为K，EFBD，EFAC，易证GFGE，又H为EF的中点，GHEF，GH与AC交于点H，EF平面GHC.OKEF，OKGH，且GHEFH，OK平面GEF，OK的长度即为O（B）到平面GEF的距离，正方形ABCD的边长为4，GC2，AC4，HO，HC，在RtHCG中，HG，易证HKOHCG，OK即点B到平面EFG的距离为。技巧点拨：当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离相等，因此线面距离可以转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点求解。例题2 （求直线与平面所成的角）在正方体ABCDA1B1C1D1中，（1）求A1B与平面AA1D1D所成的角；（2）求A1B与平面BB1D1D所成的角。思路分析：找A1B分别在平面AA1D1D及平面BB1D1D内的射影，借助三角形的知识分别求解便可。答案：（1）AB平面AA1D1D，AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在RtA1AB中，BAA190，ABAA1，AA1B45，A1B与平面AA1D1D所成的角是45；（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，A1OB1D1，BB1A1O，A1O平面BB1D1D，A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体的棱长为1，A1B，A1O，又A1OB90，sinA1BO，A1BO30，A1B与平面BB1D1D所成的角是30。技巧点拨：1. 求直线和平面所成角的步骤：（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角。2. 在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口。例题3 （立体几何中的综合运用）（山东济宁模拟） 已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm。（1）试确定m的值，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为。（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，证明你的结论。思路分析：（1）证明AO平面BDD1B1，找到线并求出线面角；（2）猜测Q为A1C1的中点，并证明。答案：（1）连接AC，设ACBDO，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG，因为PCB1B，B1B平面BDD1B1，所以PC平面BDD1B1，平面BDD1B1平面APCOG，故OGPC，所以OGPC，又AODB，AOBB1，DBBB1B，所以AO平面BDD1B1，故AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角，在RtAOG中，tanAGO，即m，故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）存在理由：依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1QAP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点，因为D1O1A1C1，D1O1AA1，AA1A1C1A1，所以D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1AP，从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直，所以存在定点Q满足题意。技巧点拨：要充分挖掘题目中的垂直关系，求线面角的关键是作出面的垂线。 因思考不周全致误例题 已知平面外两点A、B到平面的距离分别为1和2，A、B两点在平面内的射影之间的距离为，求直线AB和平面所成的角。错解：如图，由点A、B分别向平面作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA11，BB12，B1A1，由点A向BB1作垂线，垂足为H，则AB与平面所成的角即为AB与AH所成的角，即BAH为AB与平面所成的角，在RtBHA中，AHA1B1，BHBB1AA11，tanBAH，BAH30，AB与平面所成的角为30。错因分析：上述解法的错误在于仅考虑了A、B两点在平面同侧的情形，而忽略了A、B两点位于平面异侧的情形。防范措施：点、线、面的位置不同，所得出的结论往往不同，本题中AB射影位置的确定依赖于A，B两点的位置，而A，B可能在平面的同侧，也可能在平面的两侧，必须对两种情况分别加以讨论。正解：当点A、B在平面的同侧时，由以上知直线AB与平面所成的角为30；图（2）当点A、B位于平面的异侧时，如