2019版高考数学大复习解析几何第46讲双曲线优选学案.docx

第46讲双曲线考纲要求考情分析命题趋势1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景3理解数形结合的思想.2017全国卷，52017北京卷，102017天津卷，52017山东卷，151.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；判断双曲线焦点的位置2求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.分值：5分1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的！_距离之差的绝对值_#等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做！_双曲线的焦点_#，两焦点间的距离叫做！_双曲线的焦距_#.集合PM2a，2c，其中a，c为常数，且a0，c0.(1)当！_ac_#时，点P的轨迹是双曲线；(2)当！_ac_#时，点P的轨迹是两条射线；(3)当！_ac_#时，点P不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：！_坐标轴_#，对称中心：！_原点_#顶点A1！_(a,0)_#，A2！_(a,0)_#A1！_(0，a)_#，A2！_(0，a)_#渐近线yxyx离心率e！_#，e(1，)a，b，c的关系c2！_a2b2_#实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长！_2a_#；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长！_2b_#；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线0(a0，b0)的距离为b.如右图OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形(2)如下图：1(ab0)1(a0，b0)则有：P1，P2两点坐标都为，即.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1 (0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()解析(1)错误由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部(2)错误因为8，表示的轨迹为两条射线(3)错误当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线(4)正确因为1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即0，所以当0时，1(m0，n0)的渐近线方程为0，即0，即0，同理当0时，仍成立，故结论正确2过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是(C)A28B148C148D8解析由双曲线定义知4，4，()8.又7，78.PF2Q的周长为148.3双曲线2x2y28的实轴长是(C)A2B2C4D4解析双曲线2x2y28的标准方程为1，所以实轴长2a4.故选C4设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为(C)A4B3C2D1解析双曲线1的渐近线方程为0，整理得3xay0，故a2.故选C5在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为(A)ABCD2解析设双曲线方程为1(a0，b0)，其中一条渐近线方程为yx，即e214，e.一双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c的关系易错易混【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(B)A1B1C1D1(2)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且34，则PF1F2的面积等于(C)A4B8C24D48解析(1)由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c3，由离心率e，知，则a2，故b2c2a2945，所以双曲线C的方程为1.(2)双曲线的实轴长为2，焦距为2510.据题意和双曲线的定义知2，6，8，222，PF1PF2.SPF1F26824.二双曲线的几何性质及其应用双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线的方程依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解【例2】 (1)(2016山东卷)已知双曲线E：1(a0，b0)，矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是！_2_#.(2)(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为！_yx_#.解析(1)由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c,2b23ac，3e,2(e21)3e,2e23e20，解得e2或e(舍去)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立方程，得110.由根与系数的关系得y1y2b2p.pp，双曲线的渐近线方程为yx.三直线与双曲线的位置关系解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的问题常用点差法(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系【例3】 若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解析(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，即即所以1k，即k的取值范围是(1，)(2)由得x1x2，x1x2，26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.设C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)，点C是双曲线上一点，80m264m21，得m，故k，m.1过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为(D)ABCD解析由题意可求得，所以SOABc，整理得，即e.故选D2已知点F是双曲线C：x21的右焦点，点P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为(D)ABCD解析由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D3已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程为(B)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析由题意不妨设2a，6a，4a，2a，2c2a，PF1F2最小内角为PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理得4a24c216a222c4acos 30，解得ca，ba，故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.故选B4一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线1(a0，b0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且3，3，求直线和双曲线的方程解析e，b22a2，双曲线方程可化为2x2y22a2.设直线l的方程为yxm，由得x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直线l一定与双曲线相交设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x22m，x1x2m22a2.3，xR0，x13x2，x2m，3xm22a2，消去x2，得m2a2.x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直线l的方程为yx1，双曲线的方程为x21.易错点忽略定义的应用错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线的定义解题，使解题无从入手【例1】 已知ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程为！_#.解析如图，8，2，.所以826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案1(x3)【跟踪训练1】 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解析(1)由已知c，设椭圆长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长、虚半轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.课时达标第46讲解密考纲对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形或不等式综合在一起，以选择题或填空题形式出现一、选择题1(2018湖南衡阳八中期中)如果方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是(B)A(，1)B(1，)C(1，)D(，1)(1，)解析双曲线的方程是1.根据定义和条件知k10k1.故选B2已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为(C)AB2C或2D或解析根据条件可知m29，m3.当m3时，e；当m3 时，e2.故选C3双曲线2y21的渐近线与圆x2(ya)21相切，则正实数a的值为(C)ABCD解析双曲线2y21的渐近线方程为yx，圆心为(0，a)，半径为1，由渐近线和圆相切，得1，解得a.4若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的(D)A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析因为0kb0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析由已知得，所以，C2的渐近线方程为yx，即xy0.二、填空题7(2017北京卷)若双曲线x21的离心率为，则实数m！_2_#.解析由已知可得a1，c，所以e，解得m2.8已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线l：xy0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为！_x21_#.解析双曲线的一条渐近线与直线l：xy0垂直，双曲线的渐近线的斜率为，即.由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得1，c2，即a2b24.联立，解得a21，b23 ，双曲线的标准方程为x21.9在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则！_#.解析由条件可知|BC|BA|10，且|AC|12.又在ABC中，有2R(R为ABC外接圆的半径)，从而.三、解答题10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上解析(1)离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明：点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23.又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)， (23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上11设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解析(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，.又c212b2，即b2(12b2)3b236，b23.双曲线方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，点D的坐标为(4，3)12已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1