高等数学微积分课件--第八章多元函数微积分81预备知识.ppt

1,第八章 多元函数微积分,8.1预备知识 8.2多元函数的概念 8.3偏导数与全微分 8.4多元复合微分法/隐函数微分法 8.5高阶偏导数 8.6多元函数极值与最值 8.7二重积分,2,8.1预备知识,一、空间直角坐标系与空间的点 二、空间曲面与方程 三、平面区域的概念 在本节中我们将介绍一些有关空间解析几何和平面区域的基本常识，这将有助于大家理解多元函数的概念。,3,可设想n元数组(x1,xn)与n维空间中的点一一对应,尽管画不出!,z0,x0,空间直角坐标系,实数x可与数轴上的点x一一对应。 二元数组(x,y)与坐标平面上的点(x,y)一一对应。 建立了空间直角坐标系后,三元数组(x,y,z)可以与空间点形成一一对应关系。 空间直角坐标系：在空间取一点o,过点o作三条互相垂直并规定了长度单位的数轴ox、oy、oz,各轴的正向按右手法则确定。,o,x,y,z,P0(x0,y0,z0),y0,4,原点、坐标轴、坐标面,在整个空间坐标系中,点o称坐标原点,其坐标为(0,0,0);数轴ox、oy、oz称坐标轴,轴上点的坐标分别形如：(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z);每两个坐标轴确定一个平面,称为坐标面,分别称xy平面、yz平面、zx平面。 八卦：三个坐标平面将整个空间分为八个部分,称为八个卦限。,5,空间两点间的距离,空间任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),则AB两点之间的距离为：,特别,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的距离为：,A,B,M,6,空间曲面与方程,曲面S的方程：如果曲面上任意一点M的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0,而不在S上的点的坐标都不满足上述方程,则称该方程为曲面S的方程,而称曲面为该方程的图形。 注意：一元方程G(x)=0或二元方程H(x,y)=0在空间直角坐标系下一般仍表示为曲面,而不是单独的点或曲线。 空间曲线一般用联列方程组来表示(曲面的交线)。,7,常见曲面的方程,平面：ax+by+cz=d 一般二次曲面：(用截痕法研究形状),球面：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2,椭球面：,柱面：直线L(母线)沿某条曲线C(准线)平行地移动而形成的空间曲面。常见的柱面方程有：F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(x,z)=0;如圆柱面x2+y2=r2.,8,抛物面：椭圆抛物面,椭圆抛物面,（ 与 同号）,9,抛物面：双曲抛物面,双曲抛物面:,（ 与 同号）,设,俗称马鞍面,10,双曲面,单叶双曲面:,双叶双曲面:,11,坐标面、坐标轴的方程,xy平面：z=0 yz平面：x=0 xz平面：y=0,x轴：,y轴：,z轴：,12,邻域,点P0的-邻域：设P0(x0,y0)为xy平面上的一个定点,为一正数,以为圆心、 为半径的开圆,称点P0的-(圆)邻域。,类似地有,点P0的-(方)邻域：,在应用邻域概念时,强调的是邻域的存在性,而对其实际的范围并不关注,此时圆邻域与方邻域无差异,可视情况任意选用。,二元集合的一般表示：,13,开集,内点：,开集：如果点集E的点都是内点,则称E为开集。,例如，,即为开集,聚点：设E是平面点集,若点P的任意邻域内总有E内的无数点,则称P 为E的聚点。显然内点必是聚点。,14,边界与连通,边界点：若点P的任一邻域内既有点集E内的点,又有不属于E的点,则称点P是E的边界点。(点P本身既可属于E,也可不属于E。) 边界：点集E的边界点全体称E的边界。,连通区域：设D是一个开集。若对D内任意两点,总可用有限段折线连接起来,且该折线上的点都属于D,则称开集是连通的。连通的开集也称为连通区域简称(开)区域,闭区域：区域与区域边界构成的集合。,15,区域示例,例：,为开区域。,例：,为闭区域。,16,有界区域/无界区域,假如存在正数R,使得DDR(0),则称D为有界区域；否则，称D为无界区域。这里表示以原点(0,0)为中心,R为半径的开圆。,例如：,是有