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文档简介

第五节 极限的存在性定理,单调有界数列必有极限.,例1,求数列,的极限.,解,(1)存在性,令,单调性,时,设,时,定理2.14,时,故对一切正整数,有,所以数列递增.,有界性,时,时,设,时,故对一切正整数,有,所以,数列有界.,综上所述,数列极限存在.,(2)求值,设,将,两边求极限,得,即,故,例2,设,时有,且,求,解,由,故,单调,由,故,有界,综上所述,数列极限存在.,且,得,同理,由,设,两边取极限,得:,得,(舍去),例2,设,求,解,(1)求值,假设,则,即,故,因,(2)存在性,对,要使,只需,故极限存在.,取,求数列极限:,1.先按单调有界证极限存在性再按递推公式求,极限值,本方法一般适用于数列详细给出的,2.先按递推公式求极限值再按精确性定义验证,给出的情况.,情况.,极限存在性,本方法一般适用于数列通项公式,如果数列,满足下列条件,(1)从某项开始有,(2),则,数列,极限存在,并且,由已知,对,同时成立,定理2.15,证,所以,成立,因此,注,(1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理.,(2)不等式两边极限必须存在且相等.,(3)此定理对一般函数极限仍然成立.,此时,补充 (00年考研真题3分),设对任意的,总有,且,则,存在且等于零,存在但不一定等于零,一定不存在,不一定存在.,答案,例3,求,解,因为,且,所以,原式,例4,求,解,因为,且,所以,原式,例5,求,解,因为,且,所以,原式,常见的建立不等式的方法,(1)分母变大分数值变小,分母变小,分数值变大.,(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.
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