高等数学第十一章无穷级数.ppt

第十一章 无 穷 级 数,常数项级数,一、常数项级数定义及性质,2敛散性定义,3性质,必要性:,线性运算性质:,则级数收敛，否则级数发散。,设级数 为常数,则,设 ，如果 存在，,级数 收敛,1常数项级数,3常数项级数类型,正项级数,交错级数,任意项级数,常数项级数,二、判别常数项级数收敛的解题方法,若成立，则需作进一步的判别。,成立。若不成立，则可判定级数发散；,此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。,对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此 二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；,若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判 别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛；,对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、 性质等判别。 解题方法流程图如下图所示。,对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。 若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；,解题方法流程图,Yes,判断 的敛散性,比值法,根值法,比较法,找正项收敛 级数,找正项发散 级数,用其它方法证明,No,No,No,Yes,为正项级数,为任意项级数,绝对收敛,一、幂级数,1幂级数的基本概念,(1) 幂级数的定义：,(2) 收敛半径：,或,收敛区间：,存在正数,当 幂级数收敛，当 幂级数发散，,称为幂级数的收敛半径。,函数项级数,收敛域：收敛点的全体,2幂级数和函数的性质,（1）连续性：,（2）可导性：,（3）可积性：,(3) 幂级数的和函数：,3幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法,解题方法流程图如下。,对于 型，令 , 化为 型, 可得收敛域；,解题方法流程图,求幂级数收敛域,判别幂级数类型,， ，其它,1,2,3,4幂级数和函数的求法,求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的,幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先,积分后求导”等技巧，并利用与形如 （或 等）,幂级数的和函数，求出其和函数。,解题方法流程图如下图所示。,求 的和函数,令,Yes,恒等变换 直接求和,逐项积分,逐项求导,逐项求导,解题方法流程图,二、函数的泰勒级数,1泰勒级数定义：,称为 在点 的泰勒级数。,2麦克劳林级数定义：,称为 的麦克劳林级数。,3将函数展开成泰勒级数(幂级数),直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶,导数，写出泰勒展开式。,间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行恒等,函数的性质（求导数或积分），将函数展,开成幂级数。,求 的幂级数展开式,关于 的幂级数,对 求导,对 积分,解题方法流程图,几个重要函数的麦克劳林展开式,三、傅里叶级数,1傅里叶级数的类型：,为 傅里叶级数，其中,称为 傅里叶系数。,（2） 正弦级数：,（3） 余弦级数：,2收敛定理（狄利克雷充分条件）：,设 是以 为周期的函数，如果它满足条件：, 当 是 的连续点时，级数收敛于 ；, 当 是 的间断点时，收敛于 。,3如何把函数展开成傅里叶级数,把给定的函数 展开成傅立叶级数，首先要判断,是否为周期函数；如果 以 为周期，那么在定义域,内，可把 展开成 为周期的傅立叶级数；,的特点（ 或 ），对 进行周期延拓、奇延拓,正弦级数或余弦级数，最后限制在定义域上。,如果 不是以 为周期的函数，则要判别 定义域,确定 在 上的解析式,展成余弦级数,展成正弦级数,对 进行偶延拓,利用收敛定理 标明成立范围,对 进行奇延拓,利用收敛定理 标明成立范围,确定 在 上的解析式,确定 在 上的解析式,利用收敛定理 标明成立范围,对 进行周期延拓,利用收敛定理 标明成立范围,解题方法流程图,三、常数项级数典型例题,，由定义,所以原级数收敛，且和为1。,【例1】判别级数 的收敛性，并求级数的和。,分析：此级数为正项级数，由于,因此可利用定义求。,解： 由于,由级数收敛的必要条件，原级数发散。,【例2】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，因为 分别求分,子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。,解： 因为,而,故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。,【例3】判别级数 的收敛性。,解法1：此级数为正项级数，,而级数 为等比级数收敛，,解法2：由比值审敛法,故由比值审敛法知原级数收敛。,由于,故转到应用比较判别法。由于,【例4】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，设,而级数 收敛，从而级数 收敛；,或将 拆成两个级数， 分别判定级数的收敛性。,同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，,由于,解法1：设,而由比值法,易知级数 收敛,故由级数的比较判别法知，级数 收敛。,解法2：因为,所以，分别考虑 和 的敛散性。,对于,由比值法,知 收敛，所以， 绝对收敛；,同理得 收敛，可知原级数收敛。,收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。,【例5】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数, 由 的形式，利用比值,法和根值法均不合适，由于 , 可采用比较法。,解：此级数为正项级数，,令,注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键,问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，,级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。,【例6】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数， ，由于 中含有,，可用比值审敛法。,解：令,所以，原级数发散。,由比值审敛法，当 时，原级数收敛；,当 时，原级数发散。,当 时， 比值审敛法失效，注意到,注：在级数一般项 中，若含有形如 的因子时，,适于使用比值审敛法。,故由根值审敛法，原级数收敛。,【例7】判断级数 的敛散性.,分析：此级数为正项级数 , 由于 中,解：此级数为正项级数，,注：在级数一般项 中,若含有 次方时,适于使用根值 审敛法。,含有 次方，可用根值审敛法。,【例8】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？,分析：本题中， 为交错级数，可采用莱布尼兹 定理判别法。,解：此级数为交错级数，因为 , 而 发散,原级数非绝对收敛.,因为 为交错级数, 由莱布尼玆定理,由比较审敛法知 发散,所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。,所以 在 上单增，即 单减 ，,故当 时， 单减，,令,即原级数非绝对收敛。,【例9】* 判别级数 的敛散性。,解：先考虑级数 的敛散性。,由于当 时，,而级数 发散，故级数 发散，,即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。,从而原级数条件收敛。,注：在运用莱布尼玆定理判别 时，可引入函数， 利用函数的导数，判别单调性。,因为 ,其中,所以 在 内单调递减，得,于是由莱布尼兹判别法可得级数 收敛，,令,证明：设级数 和 的部分和分别为 和,则,没有具体表达式，只能将 看成任意项级数, 所以，考虑级数收敛定义。,分析：因为题设给出了级数 收敛, 但,即,由于级数 收敛, 所以 存在, 所以要,根据级数收敛的定义知 收敛.,证明 存在，只需要证明 存在即可. 根据题中,的条件 ，所以 ，因此,函数项级数典型例题,【例1】 求幂级数 的收敛半径及收敛域。,解：,当 时，级数为 ，该级数收敛。,当 时，级数为 ，该级数收敛。,故此幂级数的收敛域为 。,【例2】求幂级数 的收敛域。,解：令 ，原级数变为,所以 ，即 时，幂级数收敛。,当 时，级数为 ，为交错级数收敛，,当 时，级数为 ，为P-级数发散，,故此幂级数的收敛域为 。,【例3】求幂级数 的收敛域。,解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法,当 ，即 时，级数收敛。,当 ，即 时，级数发散。,当 时，级数为 ，为交错级数收敛。,当 时，级数为 ，为交错级数收敛。,故此幂级数的收敛域为 。,解：记,求导得,积分得,令 ，则,【例5】* 求幂级数 在收敛区间 内的和函数。,解：令,对幂级数在区间 内逐项积分，得：,其中 。,再应用逐项积分的方法得：,对 求导得,所以,对 求导得,即,解：对 进行恒等变形：,而,故,满足 ，即 ，成立区间为：,注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。,【例7】 将函数 展开成 的幂级数。,分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的,间接方法是很难 把展开成 的幂级数，所以，只能用,解：因为,而,对 先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数。,又因为 ，从而积分得,因为幂级数在 处收敛，,所以,所以，收敛域为 。,【例8】* 将函数 展开成 的幂级数。,解：,处不连续，所以函数 收敛