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文档简介
3 高斯(Gauss)公式与 斯托克斯(Stokes)公式,一、高 斯 公 式,二、斯托克斯(Stokes)公式,一、高 斯 公 式,1. 定理22.3,证明,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,解,2. 简单应用:,(利用柱面坐标得),使用Guass公式时应注意:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,证,利用高斯公式，即得,沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,我们有以下结论：,(1). 通量的定义:,3. 物理意义:,(2). 散度的定义:,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成,二、斯托克斯(stokes)公式,- 斯托克斯公式,1. 定理22.4,(2),证明思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,便于记忆形式,或,Stokes 公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的关系.,证 先证,=,（3）,=,=,因为,=,所以,=,由于,，从而,=,=,=,=,综合上述结果，便得所要证明的（3）式,（4）,=,=,（5）,将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式,解,按斯托克斯公式, 有,1. 简单应用:,解,则单位法向量,即,由斯托克斯公式,空间曲线积分与路线的无关性,例3 验证曲线积分,与路线无关,并求被求表达式的原函数,解 由于,所以曲线积分与路线无关现求,=,=,+,+,=,=,三、小结,3、应用的条件,4、物理意义,2、高斯公式的实质,1、高斯公式,6, 斯托克斯公式成立的条件,5, 斯托克斯公式,思考题解答
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