2019届高考数学复习平面向量5.3平面向量的数量积学案理北师大版.docx

5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab射影|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影几何意义ab的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .知识拓展1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()题组二教材改编2已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.答案12解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的射影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos 4cos 1202.题组三易错自纠4设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积为_答案解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.5已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的射影为_答案解析(2,1)，(5,5)，由定义知，在方向上的射影为.6已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_.答案解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos 120，abbcac.题型一平面向量数量积的运算1设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B.15 C9 D6答案C解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.2.如图，已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.答案B解析由条件可知，所以()22.因为ABC是边长为1的等边三角形，所以|1，BAC60，所以.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模典例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136 B2C. D.答案D解析依题意得|a|，ab2cos 452，|3ab|，故选D.(2)(2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案5解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.命题点2求向量的夹角典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为_答案解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.(2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A2 B1 C1 D2答案D解析因为a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根据题意可得，所以，解得m2.思维升华 (1)求解平面向量模的方法写出有关向量的坐标，利用公式|a|即可当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|.(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，注意的取值范围为0，坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解跟踪训练 (1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.题型三平面向量与三角函数典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的射影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得(4)252c225c，解得c1.故向量在方向上的射影为|cos Bccos B1.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示：现场纠错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.2(2017河北唐山一模)已知向量a，b满足a(ab)2，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案D解析由a(ab)2，得a2ab2，即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2.所以cosa，b，所以a，b，故选D.3(2017豫南九校联考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则等于()A B1 C2 D.答案B解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，|2ab|5，1，故选B.4(2018乐山质检)在ABC中，AB3，AC2，BC，则等于()A BC. D.答案D解析在ABC中，cosBAC，|cosBAC32.5(2017沈阳质检)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则等于()A. B. C. D.答案B解析由|，化简得0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以.6(2017驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析因为()(2)0，即()0，因为，所以()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.7(2017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.8(2018银川质检)已知向量a，b的夹角为，|a|，|b|2，则a(a2b)_.答案6解析a(a2b)a22ab2226.9(2017河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a(2ab)b(b2a)，|ab|3|a|，则a与b的夹角为_答案90解析由2a(2ab)b(b2a)，得4a2b2，由|ab|3|a|，得a22ab2b29a2，则ab0，即ab，a与b的夹角为90.10(2017巢湖质检)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_答案解析a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则解得或0，所以的取值范围是.11(2018贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos，于是，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.13(2018长沙质检)已知DEF的外接圆的圆心为O，半径R4，如果0，且|，则向量在方向上的射影为_答案6解析由0，得.DO经过EF的中点，DOEF.连接OF，|4，DOF为等边三角形，ODF60，DFE30，且EF4sin 6024.向量在方向上的射影为|cos，4cos 1506.14(2017广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范围为_答案解析不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为xy20(0x2)设M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)，(a,2a)，(a1,1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0a1，由二次函数的知识可得.15(2018湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb)0，则|c|的最大值与最小值的和为()A0 B.C. D.答案D解析a(a2b)，a(a2b)0，即a22ab，又|a|b|1，ab，a与b的夹角为60.设a，b，c，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a，b(1,0)设c(x，y)，则c2a(x1，