高一数学必修一第二章小结.ppt

第二章,基本初等函数,(),本章内容,2.1 指数函数,2.2 对数函数,2.3 幂函数,第二章 小结,本章小结,本章小结,知识要点,自我检测题,复习参考题,1. 指数幂的运算,负指数:,分数指数:,同底数幂相乘除:,幂的乘方:,积的乘方:,aman=am+n.,(am)n=amn.,(ab)n=anbn.,返回目录,2. 指数函数,解析式:,图象特点:,y = ax (a0, 且a1).,3. 指数函数的性质,定义域:,值域:,0a1, 负指数幂大于1, 正指数幂小于1.,单调性:,(-, +),(0, +),a1, 负指数幂小于1, 正指数幂大于1.,0a1, (-, +)上是减函数.,a1, (-, +)上是增函数.,4. 对数运算,对数式与指数式的互化:,常用对数:,aN = b N = logab.,自然对数:,1 的对数等 0,底的对数等于 1.,以10为底, log10a = lga.,以 e=2.71828为底, logea=lna.,两个特殊对数值:,5. 对数的运算性质,换底公式:,(1) loga(MN) = logaM + logaN.,(3) logaMn = nlogaM (nR).,(2) loga = logaM - logaN.,6. 对数函数,解析式:,图象特点:,y = logax (a0, 且a1).,7. 对数函数的性质,定义域:,值域:,单调性:,(0, +).,(-, +).,底数、真数同大于1, 或同小于1, 对数值为正.,0a1, (0, +)上是减函数.,a1, (0, +)上是增函数.,底数、真数一个大于1, 一个小于1, 对数值为负.,8. 幂函数,解析式:,几种幂函数的图象特点:,y = xa (a为常数).,9. 幂函数的性质,10. 反函数,由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后函数中的字母 x, y 相交换得,将一个函数 y=f(x) 中的 y 表示成 x 的函数,x=g(y),我们把 x=g(y) 叫做 y=f(x) 的反函数.,y=g(x).,指数函数与对数函数互为反函数.,如果两函数互为反函数, 则它们的图象关于直线 y=x 即称.,复习参考题,复习参考题,返回目录,A 组,1. 求下列各式的值: (1) (2) (3) (4),解:,(1),=11.,(2),(3),(4),2. 化简下列各式: (1) (2) (a2-2+a-2)(a2-a-2).,解:,(1),原式 =,(2),原式 =,3. (1) 已知 lg2=a, lg3=b, 试用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23=a, log37=b, 试用 a、b 表示 log1456.,解:,(1),3. (1) 已知 lg2=a, lg3=b, 试用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23=a, log37=b, 试用 a、b 表示 log1456.,解:,(2),由 log23=a, ,4. 求下列函数的定义域: (1) (2),解:,(1),要使函数有定义, 只需,2x-10,即,函数的定义域为,(2),要使函数有定义, 需, x0.,函数的定义域为 x|x0.,5. 求下列函数的定义域: (1) (2) y=loga(2-x) (a0, 且a1); (3) y=loga(1-x)2 (a0, 且a1).,解:,(1),要使函数有定义, 需,原函数的定义域为,(2),要使函数有意义, 需,2-x0,得 x2,原函数的定义域为 x|x2.,5. 求下列函数的定义域: (1) (2) y=loga(2-x) (a0, 且a1); (3) y=loga(1-x)2 (a0, 且a1).,解:,(3),要使函数有定义, 需,(1-x)20,即 1-x0,原函数的定义域为 xR|x1.,得 x1,6. 比较下列各组中两个值的大小: (1) log67, log76; (2) log3p, log20.8.,解:,(1),log67log66,=1,log76log77,=1,log67log76.,(2),31, p 1,log3p0,又 21, 0.81,log20.80.,则 log3p log20.8.,7. 已知 f(x)=3x, 求证: (1) f(x)f(y)=f(x+y); (2) f(x)f(y)=f(x-y).,证明:,(1), f(x)=3x, f(x)f(y)=3x3y,=3x+y,f(x+y)=3x+y,则 f(x)f(y)=f(x+y)成立.,(2),f(x)f(y)=3x3y,=3x-y,f(x-y)=3x-y, f(x)f(y)=f(x-y)成立.,8. 已知 f(x)= a, b(-1, 1), 求证:,证明:,即 成立.,9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.,解:,(1),设保鲜时间与温度的指数关系为 y=kax,当 x=0 时, y=192; 当 x=22 时, y=42.,则, k=192, a0.93.,于是得保鲜时间与温度的函数式为 y=1920.93x.,9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.,解:,(2),由(1)得函数式为 y=1920.93x.,当 x=30 时, y=1920.9330,22 (h);,当 x=16 时, y=1920.9316,60 (h).,答: 在30温度下, 可保鲜22小时, 在16温度下, 可保鲜60小时.,9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.,解:,(3),图象经过点,(30, 22).,(22, 42),(16, 60),(0, 192),y=1920.93x,10. 已知幂函数 y=f(x) 的图象过点(2, ), 试求 此函数的解析式, 并作出图象, 判断奇偶性、单调性.,解:,幂函数 y=xa 经过点,则有,得,即函数解析式为,定义域为(0, +),图象过点 (1, 1),1,1,2,4,函数非奇非偶,在(0, +)上是减函数.,B 组,1. 已知集合A=y | y=log2x, x1, B=y | y= x1, 则AB = ( ) (A) (B) y|0y1 (C) (D) ,解:,当 x1 时, log2x0,A=y|y0,则,A,2. 若 2a=5b=10, 则,解:,2a=10, a=log210,5b=10, b=log510,则,= lg(25),=1.,1,3. 对于函数 f(x)=a- (aR): (1) 探索函数 f(x) 的单调性; (2) 是否存在实数 a 使函数 f(x) 为奇函数?,解:,(1),2x是 (-, +)上的增函数,当 x1x2 时,则,所以得 f(x1)f(x2),函数在(-, +)上是增函数.,3. 对于函数 f(x)=a- (aR): (1) 探索函数 f(x) 的单调性; (2) 是否存在实数 a 使函数 f(x) 为奇函数?,解:,(2),要使 f(x)为奇函数, 需,f(-x) = -f(x),即,整理得,解得,即当 a=1 时, f(x)为奇函数.,4. 设 求证: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,证明:,原等式成立.,(1),=1,4. 设 求证: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,证明:,原等式成立.,(2),又 2f(x)g(x),4. 设 求证: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,证明:,(3), g(2x)=g(x)2+f(x)2 成立.,又 g(x)2+f(x)2,5. 把物体放在冷空气中冷却, 如果物体原来的温度是 q1, 空气的温度是q0. t min 后物体的温度q可由公式 q = q0+(q1-q0)e-kt 求得, 这里 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常量, 现有62的物体, 放在15的空气中冷却, 1 min以后物体的温度是52, 求上式中 k 的值 (精确到0.01), 然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42, 32. 物体会不会冷却到12?,解:,当 q1= 62, q0= 15, t =1时, q = 52,则得 52=15+(62-15)e-k,解得,0.24.,得此物体的冷却公式为,q =15+47e-0.24t.,当 q =42 时, 解得 t 2.3(min);,当 q =32 时, 解得 t 4.2(min).,当 q =12 时, 得 t = lg0.79(-0.06),对数无意义.,(答略),事实上, 物体不可能冷却到比空气的温度还低.,6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p0e-kt. 如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.,解:,当 t=5 时, P=90%P0,则 90%P0=P0e-5k,解得 k0.02,得 P 与 t 的关系式为,P=P0e-0.02t.,(1),当 t =10 时,P=P0e-0.2,0.82P0,答: 10小时后大约还剩百分之八十二的污染物.,6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p0e-kt. 如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.,解:,当 t=5 时, P=90%P0,则 90%P0=P0e-5k,解得 k0.02,得 P 与 t 的关系式为,P=P0e-0.02t.,(2),当 P =0.5P0 时,答: 污染物减少50%, 大约需要花35小时.,得 0.5P0=P0e-0.02t.,解得 t 35,6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p0e-kt. 如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.,解:,图象过点 (5, 0.9),(3),(10, 0.82),(35, 0.5).,5,10,35,0.5,0.82,0.9,自我检测题,返回目录,检测题,一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 已知集合A=y|y=log2x, x1, B=y|y= , x1, 则AB=( ) (A) (B) y|0b, 则 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D) 3. 如果a1, bf(1), 则x的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) (0,1) (10,+) 二、填空题 6. 1992年底世界人口达到54.8亿, 若人口的年平均增长率为1%, 经过x年后世界人口数为y(亿), 则y与x的函数 解析式为 . 7. 函数y=logx-1(3-x)的定义域是 . 8. 设0x2,则函数 的最大值是 , 最小值是 . 三、解答题 9. 已知函数f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求f(x)的定义域; (2) 讨论函数f(x)的增减性. 10. 某电器公司生产A型电脑, 1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元, 并以纯利润20%确定出厂价, 从 1994年开始, 公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低, 到1997年, 尽管A型电脑出厂价是1993 年出厂价的80%, 但却实现了50%纯利润的高效益. (1) 求1997年每台A型电脑的生产成本; (2) 以1993年的生产成本为基数, 求19931997年生产成本平均每年降低的百分数 (精确到0.01, 以下数据 可供参考: ).,检测题,一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 已知集合A=y| y=log2x, x1, B=y| y= , x1, 则AB= ( ) (A) (B) y|0y1 (C) (D) ,解:,化简集合得,A=y | y0,A,2. 若 a, b 是任意实数, 且 ab, 则 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D),分析:,用函数的思想判断 A、D 选项,A 选项看作二次函数, 在任意实数范围内不是一,个单调区间, 不能确定大小.,D 选项看作指数函数, 底数小于 1, 在 (-, +),上是减函数, ab,D,也可用具体实数检验:,1-2 12(-2)2,-1-2 ,a-b=0.1 lg(a-b)0,A不对;,B不对;,C不对.,3. 如果 a1, b-1, 那么函数 f(x)=ax+b 的图象在( ) (A) 第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限 (C) 第二、三、四象限 (D)第一、二、四象限,分析:,f(x)的图象是将底数大于 1 的指数函数的图象,向下平移一个多单位, (如图),则应选 B.,B,y=ax,b,y=ax+b,4. 世界人口已超过 56 亿, 若按千分之一的年增长率计算, 则两年增长的人口就可相当于一个 ( ) (A) 新加坡 (270万) (B) 香港 (560万) (C) 瑞士 (700万) (D) 上海 (1200万),解:,增长两年后的总人口:,560000(1+0.001)2.,两年增长的人口:,560000(1+0.001)2-560000,1121(万),即两年增加的人口将超过1121万人, 相当于一个,上海人口.,D,5. 已知 f(x) 是偶函数 , 它在 0, +) 上是减函数. 若 f(lgx)f(1), 则 x 的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 1) (10, +),分析:,由 f(x) 在 0, +) 上是减函数, 且是偶函数,则大概图象如图:,f(1)=f(-1),要使 f(lgx)f(1), 需,-1lgx1,lg10-1=,= lg10,C,二、填空题 6. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿, 若人口的年平均增长率为 1%, 经过 x 年后世界人口数为 y (亿), 则 y 与 x 的函数解析式为 .,y=54.8(1+0.01)x,7. 函数 y=logx-1(3-x) 的定义域是 .,解:,x-10,x-11,3-x0,解得 1x3, 且 x2.,(1, 2)(2, 3),8. 设 0x2, 则函数 的最大值是 , 最小值是 .,分析:,原函数变为 y=22x-1-32x+5,设 2x=t (1t4),则函数变为,画出图象:,当 t=1 时, 函数取得最大值,当 t=3 时, 函数取得最小值,三、解答题 9. 已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.,解:,(1),要使对数有意义, 需 ax-10,即 ax1, 当 0a1 时, x0,此时函数的定义域为 (-, 0)., 当 a1 时, x0,此时函数的定义域为 (0, +).,三、解答题 9. 已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.,解:,(2), 当 0a1 时, x0,ax是 (-, 0) 上的减函数.,取 x1x20 时, logau是 (0, +) 上的减函数, logau1logau2,则当 0a1 时, f(x) 在 (-, 0) 上是增函数.,三、解答题 9. 已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.,解:,(2), 当 a1 时, x0,ax是 (0, +) 上的增函数.,取 x1x20 时, logau是 (0, +)