《概率论与数理统计》课程练习计算题.doc

三、解答题1设对于事件、有，求、至少出现一个的概率。解：由于从而由性质4知，又由概率定义知，所以 ，从而由概率的加法公式得 2设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？ 解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为 / 3一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则 （1）第二次取到次品的概率为 （2）两次都取到正品的概率为 （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 4一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则（1）至少取到一个正品的概率 （2）第二次取到次品的概率为 （3）恰有一次取到次品的概率为 5一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设表示：“取出的两件都是正品是正品”；表示：“取出的两件恰有一件次品”； 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则（1）两件都是正品的概率 （2）恰有一件次品的概率 （3）至少取到一件次品的概率 6一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率； （2）至少有一台机床不需要照看的概率。解：设表示：“没有一台机床需要照看”；表示：“至少有一台机床不需要照看“；表示：“第台机床需要照看”（=1，2，3）。则；。 7在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1） （2） 8一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（=1，2，3），则问题（1）化为求；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，（1）。因此由条件概率公式得 （2） 9已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1） 该产品是次品的概率；（2） 若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；“取到的产品是工厂的”。则 （1） 取到的产品是次品的概率为 （2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 10有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”； 表示：“由甲袋取出的球是黑球”； 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 11设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得 = 12三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，由全概率公式得 （1） （2）由贝叶斯公式得 = 13有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。则，且，两两互不相容 （1）由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得= 14有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。 解：设表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；则 （1） （2） 15设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有；。依题意所求概率为 16甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则 （1） （2） （3） 17已知，求。 解：由于 所以 18设，求。解：由于 ， ，而 ， ， 故 。 19设事件、相互独立，已知，。求：（1）； （2） 。解：由即 解得 所以 20设、为随机事件，且，求：（1）；（2） 。解：（1）（2） 21设事件、相互独立，已知，求： （1）； （2）。解：由条件 即 解得，所以（1）（2） 22设事件相互独立，试证明： （1）事件相互独立； （2）事件相互独立； （3）事件相互独立。 证明：（1）欲证明相互独立，只需证即可。而 所以事件相互独立。同理 （2）由于 所以事件相互独立。 （3）由于 所以事件相互独立。 23 若，证明事件相互独立。 证明：由于，且，所以 从而有 故由独立性定义知，事件相互独立。第二章 随机变量及其分布三、解答题1设的概率分布为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：（1）的分布函数； （2）、。 解：（1） ； ； 。 2从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知服从二项分布，从而 ； ； ； 即的概率分布列为 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 由分布函数定义 3从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。 解：由题意知服从二项分布，从而 即的概率分布列为 0 1 2 3 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得 4一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。 解：设：表示：“部件需要调整”。 ； ； 故的概率分布列为 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 5已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。 解：的可能取值为1，2，。 记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得 依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为 6设随机变量的概率密度为，求：（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在区间内的概率。 解：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数及的分布函数，至于（3）可由的分布函数求得。 （1）由归一性， 解得。 （2）由连续型随机变量的定义知的分布函数为 当时，=0； 当时， 当时， 故的分布函数为 （3）所求概率为 7设随机变量的分布函数为 求：（1）系数； （2）落在区间（1，1）中的概率； （3）随机变量的概率密度。（提示：为反正切函数） 解：（1）由，解得。故得 （2） （3）所求概率密度为 8设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。解：由归一性 所以=2。即 所以，从而 = 9在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解 ：设表示每个人等车时间，且服从0，5上的均匀分布，其概率分布为 又设表示等车时间不超过2分钟的人数，则，所求概率为 10在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求： （提示：）（1） 该电子元件被损坏的概率（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。 解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在200240伏”；：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。 由于，所以 由题设,所以由全概率公式 由条件概率公式 11一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布；（2）关于和边缘分布； （3）和是否相互独立？为什么？解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。 于是（，）的概率分布表为 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 （2）关于和的边缘概率分布分别为 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3 2/3 （3）和相互独立。因为有 12一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量的概率分布；（2）关于和关于的边缘概率分布；（3）和是否相互独立？为什么？ 解：（1）的取值为，由概率乘法公式可得同理可得 此外事件，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）关于的边缘概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 关于的边缘概率分布 1 2 3 1/3 1/3 1/3 （3）和不相互独立，由于。 13一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）和的联合概率分布及关于和关于边缘分布；（2）与是否独立？为什么？解：（1）（，）的概率分布表为 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 的边缘概率分布为 1 2 3 1/2 1/4 1/4 的边缘概率分布为 1 2 3 1/2 1/4 1/4 （2）与不独立，由于 14设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。 解：如图所示，的面积为 因此均匀分布定义得的联合概率密度为 1 而 所以关于和关于的边缘分布密度分别为 （2）由于，故随机变量与不相互独立。15设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数； （2）概率。解：（1）时，=0； 时，= 故随机变量的密度函数= （2） 16设随机向量的概率密度为 试求:（1）常数；（2）关于的边缘概率密度。解：（1）由归一性 所以。 的联合概率密度为 （2）关于的边缘概率密度为 即 同理可求得关于的边缘分布密度为 17设随机变量（，）具有概率密度 ，求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于，故 1=所以=1，即 （2） ，即 ，即 18设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。 1/81/121/61解： 1/121/87/241/21/121/87/241/21/61/47/121第三章 随机变量的数字特征三、解答题 1设随机变量，求：（1） 常数 ；（2）；（3）。 解：（1）由归一性 1=从而得，； （2）= （3）由于= 于是 2设的分布密度为，求：数学期望和方差。 解：= = 于是 3已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 0.3 0.2 0.5 试求：（1）、；（2）；（3）的分布函数。解： （1） （2）经计算得的概率分布列 0 0.8 0.2 （3） 4设的概率分布为 求：和。 解：由于在有限区间1，5上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 。5已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： （1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 （2） 从而有与的相关系数 6设随机变量、独立同服从参数为泊松分布，求与的相关系数。 解：由条件、独立同服从参数为泊松分布，所以，因此 Cov于是与的相关系数7设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。 解：设表示生产利润,表示每周发生故障的次数，则是的函数，而，其概率分布为 可能取值为2，0，4，8。 8设与独立同分布，已知的概率分布为，又设，。求：（1）、；（2）随机变量的协方差。 解：（1）的概率分布为 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 关于、的边缘概率分布分别为 1 2 3 1/9 3/9 5/9 1 2 3 5/9 3/9 1/9从而得 （2） Cov()= 9游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达低层候梯处，且在0，60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 解：已知在0，60上均匀分布，其概率分布为 设表示游客等候电梯时间（单位：分），则 因此 + 第四章随机变量及其分布 三、解答题 1已知随机变量的概率分布为 1 2 3 0.2 0.3 0.5 试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。 解：依题意，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为 第五章随机变量及其分布 三、解答题1设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。 解：设为观测值，则构造似然函数 令 解得的