将代入到质点系动量定理,得.ppt

将 代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变，则,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,三、 质心运动定理,第二章,21,3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。,或,第二章,22,4. 质心运动守恒定律 若 ，则 常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒。 若 则 常量，质心沿x方向速度不变； 若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,5质心运动定理可求解两类动力学问题： 已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,第二章,23,应用质心运动定理解题步骤：,1、分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力；,2、为求未知力，可计算质心坐标，求质心加速度，然后应用质心运动定理求解；,3、在外力已知的条件下，欲求质心运动规律，积分求解；,4、如果外力主矢为零，且初始时质点系静止，则质心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心坐标，令其相等，即可求出质点位移。,第二章,24,Fy,Fx,FN,例题5 曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OAABl，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹以及此系统的动量。,解：设t=0时OA杆水平，则有 t。质心C 的坐标为,O,A,B,y,x,第二章,25,上式也就是此系统质心C的运动方程。由上二式消去时间t得,Fy,Fx,FN,O,A,B,y,x,第二章,26,x,动量的方向沿着轨迹的切线方向，可用方向余弦表示,第二章,27,Fy,Fx,FN,O,A,B,y,x,第二章,1,小结,质点系的动量定理,质心运动定理,动量守恒定律,质心运动守恒定律,第二章,2,例题1 匀质杆AB长为2l，B端放在光滑水平面上。杆在如图所示 位置由静止自由倒下，求A点的轨迹方程。,c,A,B,解：这是一个由已知力求质心运动的问题,杆在倒下过程中，质心在水平方向不受礼， 故质心在水平方向的位置不变。,初始时，静止。,任一瞬时，杆与水平方向成角，则A端的坐标为（x,y）。A端 到质心的距离为l。所以,这是一个椭圆方程，所以A点的轨迹为椭圆。,第二章,3,例题2 一根柔软、无弹性、线密度为、长为l 的绳索，其上端A 由高l处的o点铅直自由坠到地板上，求当绳索在空中剩下 的长度为l-x（x l ) 时，空中部分绳索的速度，及对地板 的最大压力。,解：取坐标，A点的坐标为 ，速度为 ， 加速度为,空中部分仅受重力，做自由落体运动。,绳索整体受外力：重力 ，地板压力,由质心运动定理：,（1）,（2）,第二章,4,是A点的加速度g,由牛顿第三定律，绳索对地板的压力也等于,当x=l 时，,第二章,5,3 角动量定理与角动量守恒定律 Theorem of angular momentum conservation law of angular momentum,一、 对固定点的角动量定理和对固定轴的角动量定理,1.对固定点的角动量定理,n个质点的质点系中第i个质点,将n个方程求和,第二章,6,质点系对任一固定点的角动量对时间的导数，等于诸外力对 同一点的力矩的矢量和。这就是质点系对固定点的角动量定理。,与内力矩无关。,质点系的角动量的微分等于诸外力 的元冲量矩的矢量和。,（）,第二章,7,直角坐标系中的分量形式,2.对固定轴的角动量定理,在固定 l 轴上取固定点o，用 点乘式（ ），,质点系对固定轴的角动量定理,第二章,二、 角动量守恒律,8,某段时间内，作用在质点系上的外力对定点的合力矩为零时, 质点系对该点的角动量守恒.,若 则,作用于质点系的诸力对轴的力矩和为零时,质点系 对该轴的角动量不变.,第二章,9,解：对O轴，,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。,例题1 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 运动的速度多大？（轮重不计）,系统的角动量守恒。,第二章,10,解：,例题2 已知：猴子A质量为m，猴子B质量为m，绳子两端距o轴平面的距离为s与s，同时以匀加速度向上爬。（轮重不计） 问需多久时间，A、B可以同时到达？,将A、B看成质点系，利用角动量定理。 它们对水平轴的角动量：,外力对同一轴力矩,由角动量定理,为什么不用动量定理解？,第二章,11,三、 质点系在质心系中对质心的角动量定理,1.质点系在质心系中对质心的角动量定理,在质心上，建立随质心一起运动的坐标系，n个质点的质点系中第i个质点相对质心的位矢为,第i个质点所受的惯性力,用 左矢乘上式两边,第二章,12,注意：质心是个特殊的动点，对于其他动点一般不能得到 上面形式的角动量定理。,对质心的角动量定理,第二章,13,O,Pi,Pi点相对固定点o的位矢,质点系对固定点的角动量等于质点系对质心的角动量与 质心对固定点角动量的矢量和。,第二章,14,例题2 如图，半径为R、质量为M的均匀薄圆环，在OXY面内沿OX轴作无滑滚动，环心速度为 ，求圆环对O点的角动量。,o,x,y,c,解：,第二章,15,3.有关质心与内力的讨论,a)质心是质点系问题中十分重要的一点，同时也是十分 特殊的一点。,b）质心的运动代表平动，不能完全的代表质点系的运动。,c)内力的作用：对 和 的演化过程有影响。一对对内力造成了各质点间动量与角动量的等量转移。内力对质点系的运动至关重要。,第二章,16,4 动能定理与机械能守恒定律 Theorem of Kinetic Energy and Conservation Law of Mechanical Energy,一、 质点组的动能定理,对质点组的任一质点用动能定理，有,求和得,T是质点系的动能，这就是质点系的动能定理。注意在动量 定理，角动量定理中，内力的作用能相互抵消，但在动能定 理中，内力是不能消去的。,第二章,17,这是由于一切内力做功为,只要 变化，内力就做功， 的方向永远与 方向共线，故能使质 点系不受外力，但动能并不守恒，这是因为内力做功不为零。,二、机械能守恒定律,如，作用在质点系上所有外力及内力 都是保守力(或者某一些力不做功)，则有,E总能量，T质点系动能，V质点系的势能。,第二章,18,三、柯尼希定理,考虑质点系的特殊坐标系质心坐标系,设C-x,y,z 的原点固定在C上，并随C在C-x,y,z中平动，,O,Pi,x,y,第二章,19,动能由两项组成：质点组全部质量集中在质心上时，运动 的动能质心的动能。在质心系中各质点的动能相 对质心系的动能。这就是柯尼希定理。注意此定理只对质心 系成立，对别的点就不成立了(如 A点)。,四、对质心系的动能定理,由运动方程出发，非惯性系给出对第i个质点,两边标乘相对质心系的位移,并对i求和,第二章,20,质点组在质心系中，总动能的变化等于作用在质点系的外、 内力做的元功之和。质心系动能定理形式上与惯性系相同， 惯性力不起作用，可把质心系当成惯性系来用。赝动能定理,第二章,21,例题1 质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离为 时两质点的速度。,解:,令质量为