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数学建模概论,王继强,E-mail： PhQQ：1072736595,0.引例,哥尼斯堡（Knigsberg）七桥问题,一个散步者能否从某处出发，依次走过每座桥恰好一次，再回到原出发处？,这样的散步路线不存在！,欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）,0.引例,欧拉回路 欧拉图,原型（prototype） ：现实对象和实际问题。 模型（model ） ：抽象、简化的原型替代物。 数学模型（mathematical model）：对实际问题的一种数学表述。 数学建模（mathematical modeling）：建立数学模型的过程。,1.什么是数学建模,（1）按模型的应用领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、医学模型、经济学模型、社会学模型等。 （2）按建模的数学方法（或所属数学分支）分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等。 （3）按模型的表现特征分：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、连续模型和离散模型等。 （4）按建模目的分：描述模型、预报模型、决策模型、控制模型等。 （5）按对模型的了解程度分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。,2.数学模型的分类,3.数学建模的步骤,模型准备,模型假设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,将一张四腿连线呈矩形的椅子放在不平的地面上，不允许将椅子移到别处，但允许绕矩形的中心旋转，总能设法使椅子的四腿同时着地。,4.建模实例选讲,1. 椅子着地问题,模型假设： （1）椅子四腿等长，接地处为点，四点连线为正方形； （2）地面为一连续曲面； （3）在任一位置处至少有三条腿可同时着地。,模型建立：,令 ：A，C与地面的距离之和； ：B，D与地面的距离之和。,不妨设,4.建模实例选讲,模型求解：,将椅子顺时针转 角时，,4.建模实例选讲,2. 婚姻问题,某财主想把自己的三个女儿A，B，C嫁出去。现恰有三位求婚者a，b，c，他们为娶到A，B，C愿意支付的财礼数由下面的矩阵C 给出：,问：财主应该如何嫁女儿，才能获得最多的财礼？,4.建模实例选讲,模型建立：,4.建模实例选讲,模型假设：一夫一妻制。,模型求解：Lingo程序 model: sets: Chaser/Ch1Ch3/; Women/W1W3/; links(Chaser, Women):c,x; endsets data: c=3,5,26, 27,10,28, 1,4,7; enddata max=sum(links:c*x); for(Chaser(i):sum(Women(j):x(i,j)=1); for(Women(j):sum(Chaser(i):x(i,j)=1); for(links:bin(x); end,4.建模实例选讲,结果： Global optimal solution found. Objective value: 57.00000 Objective bound: 57.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( CH1, W1) 0.000000 -3.000000 X( CH1, W2) 0.000000 -5.000000 X( CH1, W3) 1.000000 -26.00000 X( CH2, W1) 1.000000 -27.00000 X( CH2, W2) 0.000000 -10.00000 X( CH2, W3) 0.000000 -28.00000 X( CH3, W1) 0.000000 -1.000000 X( CH3, W2) 1.000000 -4.000000 X( CH3, W3) 0.000000 -7.000000,4.建模实例选讲,3. 消防站选址,某市拟建一消防站为7个社区提供服务，如下图所示。问：此消防站应建在哪一社区，才能使其到最远社区的距离最近？,4.建模实例选讲,模型建立：最短路,数学建模实例选讲,模型求解： MatLab程序(Floyd算法) n=7; A= 0 3 Inf Inf Inf Inf Inf 3 0 2 Inf 18 2.5 Inf Inf 2 0 6 2 Inf Inf Inf Inf 6 0 3 Inf Inf Inf 18 2 3 0 4 Inf Inf 2.5 Inf Inf 4 0 1.5 Inf Inf Inf Inf Inf 1.5 0; D=A; for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=k;end;end;end K D R pd=0;for i=1:n if(D(i,i)0)pd=1;break;end;end if(pd)break;end end,结果： D = 0 3.0000 5.0000 10.0000 7.0000 5.5000 7.0000 3.0000 0 2.0000 7.0000 4.0000 2.5000 4.0000 5.0000 2.0000 0 5.0000 2.0000 4.5000 6.0000 10.0000 7.0000 5.0000 0 3.0000 7.0000 8.5000 7.0000 4.0000 2.0000 3.0000 0 4.0000 5.5000 5.5000 2.5000 4.5000 7.0000 4.0000 0 1.5000 7.0000 4.0000 6.0000 8.5000 5.5000 1.5000 0,应建在第3个社区。,4.建模实例选讲,4. 山区地貌,为在山区修一条公路，测得一些地点处的海拔高程（单位：米），见下表：,其中(x, y)为地点的坐标，0x, y 2000。试给出该地区的地貌模型，以作为拟建公路选址的参考。,4.建模实例选讲,MatLab程序： x=0:400:2000; y=0:400:2000; X,Y=meshgrid(x,y); Z=370 470 550 600 670 690;510 620 730 800 850 870;650 760 880 970 1020 1050;740 880 1080 1130 1250 1280;830 980 1180 1320 1450 1420;880 1060 1230 1390 1500 1500; surf(X,Y,Z),4.建模实例选讲,空间曲面, xi=0:50:2000; yi=0:50:2000; XI,YI=meshgrid(xi,yi); ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,spline); contour(ZI),4.建模实例选讲,等高线,体重约70kg的某人在瞬间喝下两瓶啤酒后，每隔一段时间测量其血液中的酒精含量，数据如下表所示。试研究此人喝酒后血液中酒精含量的变化情况。,4.建模实例选讲,5. 酒精含量,模型假设： （1）瞬间喝入胃中的酒精总量为G0 （2）胃里的酒精被吸收进入血液的速度与胃里的酒精含量x(t)成正比，比例系数为k1； （3）血液中的酒精被代谢排出的速度与血液中的酒精含量y(t)成正比，比例系数为k2 。,4.建模实例选讲,模型建立：,模型求解：微分方程组,4.建模实例选讲,最小二乘拟合：Lingo程序 model: sets: drink/d1d23/:t,y; endsets data: t=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16; y=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4; enddata min=sum(drink:(a*(exp(-k2*t)-exp(-k1*t)-y)2); end,结果： Local optimal solution found. Objective value: 225.3417 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 100 Variable Value Reduced Cost A 114.4325 0.000000 K2 0.1855020 0.5787570E-08 K1 2.007938 0.000000,4.建模实例选讲,变化规律：MatLab程序 ti=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16; yi=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4; yi1=114.4325*(exp(-0.185502*ti)-exp(-2.007938*ti); plot(ti,yi,o,ti,yi1),4.建模实例选讲,图象：,6. 老兔生小兔,年初兔笼里有一对雌雄兔子，两个月生下一雌一雄两只小兔。生下的小兔都能成活，且两个月后又可生下一雌一雄两只小兔。依次类推。问：年末兔笼里共有多少对兔子？,4.建模实例选讲,Fibonacci数列,令Fn：第n个月份末兔子的对数,模型建立：,模型求解：差分方程,4.建模实例选讲,MatLab程序： function fib=fibonacci(n) fib=1 1;i=1; if n= =1 fib(2)=; elseif n= =2 else while in-1 fib(i+2)=fib(i)+fib(i+1); i=i+1; end end,结果： fib=fibonacci(12) fib = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144,4.建模实例选讲,名称：大学生数学建模竞赛 （MCM，Mathematical Contest in Modeling； AUMCM，American Undergraduate Mathematical Contest in Modeling） 发起时间：1985年。 发起方：美国工业与应用数学学会（SIAM，Society for Industrial and Applied Mathematics）。 竞赛时间：每年2、3月（春节前后）举行。 增开：1999年，大学生跨学科建模竞赛（ICM，Interdisciplinary Contest in Modeling）。,5.建模竞赛AUMCM,资助方： 美国国家安全局（NSA，National Security Agency） 美国工业与应用数学学会（ SIAM ） 美国运筹学与管理科学学会（IORMS，Institute for Operations Research and Management Sciences） 美国数学协会（MAA，Mathematics Association of America） 主办方：数学及其应用联合会（COMAP，Consortium for Mathematics and its Applications ） 网站： 1989年，北大、清华、北理工等开始参加MCM。 近年来，我国参赛队数占4/5。 姜启源：数学建模竞赛是在美国发芽，而在中国开花结果的。,5.建模竞赛AUMCM,名称：全国大学生数学建模竞赛 （CUMCM，China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling） 发起时间：1992年。 发起方：中国工业与应用数学学会（CSIAM，China Society for Industrial and Applied Mathematics ） 主办方：（1994年起）教育部和中国工业与应用数学学会 网站： 参赛队数：2006年，864个院校，9985个队参赛。 2008年，参赛队数破万。 全国最大的大学生课外科技活动。,6.建模竞赛CUMCM,性质：数学建模竞赛是以数学知识为主，计算机运用能力与写作能力为辅的综合能力的竞赛。 宗旨：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争。 时间：每年9月的第三个周五早8时下周一早8时（共72小时）。 分组：甲组（本科），乙组（专科、高职、高专）。 赛题：实际问题；A、B两道（连续、离散各一），任选其一。 组队：三名学生一队。,6.建模竞赛CUMCM,学术援助：可使用任何非生命资源；原则上由学生独立完成，指导教师仅解疑释惑。 试题发布：网上下载。 全国大学生数学建模组委会： 数模网： 数模中国： 高等教育出版社： 山东赛区组委会：/sddxs 答卷：一篇完整的论文（包括摘要、问题重述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型改进、参考文献、附录等）；Word文件(2003版本)。 交卷：电邮。,6.建模竞赛CUMCM,评奖：以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 奖项：（先赛区后国家）国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖、成功参赛奖。 推荐教材： 1.姜启源，谢金星，叶俊、数学模型（第三版）、北京：高等教育出版社、2003。 2.赵静，但琦、数学建模与数学实验、北京：高等教育出版业、2003。 3.王正林，刘明、精通MatLab 7、北京：电子工业出版社、2006。 4.谢金星，薛毅、优化建模LINDO/LINGO软件、北京：清华大学出版社、2005。,6.建模竞赛CUMCM,7. CUMCM历年赛题,7. CUMCM历年赛题,7. CUMCM历年赛题,赛题特点： 1.实用性：实际问题，涉及面宽（工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学、社会事业）。 2.即时性：热点问题。 3.综合性：问题不一（确定型讨论型），解法多样（优化多）。 3.规模性：数据庞大（有无？）。 4.创造性：05年起全国组委会不再提供参考答案。,8.我校参赛情况,组织领导：学院院长主持、院长助理组织协调、指导教师组具体实施（赛前、中、后）。 硬件：数学建模实验室（18台新电脑、打印机、网络）。 开课：信计开数学建模与实验课。 参赛学生资格：大学本科二、三年级；学过微积分（数学分析、高等数学）、线性代数（高等代数）、概率统计、运筹学、常用数学软件、计算机基础、编程等课程。 报名：自愿报名（影响考研？）；每年5月中旬左右，校园网通知。 选拔：初选、培训、正选。,培训：指导教师组；集中培训（8月中旬开学，上、下午各四节课）、分组培训（开学初赛前，研讲论文）。 集中培训内容：建模概论、微分方程、差分方程、统计分析（回归、Markov链）、运筹学、数值计算、模糊数学、数学实验（MatLab/Mathematica/Maple、Lingo/Lindo、SPSS/SAS、 C /C +）、画图（Smartdraw）、数学公式排版（公式编辑器）、文献资料查找等。 文献资料查找：书籍、期刊、报纸、学位论文、电子