矩阵的相似变换和特征值几何与线性代数.ppt

返回主界面,第五章 矩阵的相似变换和特征值,线性代数与空间解析几何电子教案网络版,说明: 由于PowerPoint软件版本差异, 在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常. 课件作者：张小向,5.1 方阵的特征值和特征向量,5.2 相似矩阵,5.3 实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,一. 特征值, 特征向量的定义和计算,1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零向量. 若A = , 则称为A的特征值, 称为A 的对应于的特征向量.,2. 由A =得齐次线性方程组(IA) =, 它有非零解系数行列式|IA|=0, 这个 关于的一元n次方程, 称为A的特征方程, |IA|称为A的特征多项式.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例1. 求,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2, (2IA)x = 即,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4, (4IA)x = 即,例1. 求,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=4.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |IA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2IA)x = 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1, 求得(IA)x = 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |IA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (IA)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为kp1 (0kR). (2IA)x = 的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例3. 求,的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值. 例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 3 +4. 为(A) = 2A2 3A +4I的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A)x = (2A2 3A +4I)x = 2(A2)x3Ax +4x = 22x3x +4x = (22 3 +4)x = ()x, 所以f()为f(A)的特征值.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,二. 特征值, 特征向量的性质,定理5.1. 设1, , n(实数或复数, 可以重复),是n阶方阵A=aij的n个特征值, 即 |IA| = (1) (2)(n).,则,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,定理5.2. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特 征值.,推论. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O,(这时称f为A的一个零化多项式), 则A 的任一特征值 必满足f() = 0.,注: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.,例如f(x) = x21,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一. 相似矩阵的定义和性质,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为AB. P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.,易见, 矩阵间的相似关系满足 反身性: AA; 对称性: AB BA; 传递性: AB, BC AC. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.,且A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,命题: 设AB, f是一个多项式, 则f(A) f(B).,证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则,P 1f(A)P,= anP 1AnP+A1p 1AP+a0 P 1IP,= an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0I,= P 1(anAn+a1A+a0I)P,= anBn+a1B+a0I,= f(B).,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,定理5.5. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.,事实上, 设P 1AP = B, 则 |IA| = |P 1|IA|P|= |IB|.,注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 则A = PBP 1 = B.,矛盾!,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,证明: (必要性)设P 1AP = diag1, 2, , n,则AP = Pdiag1, 2, , n, 即,P 的列向量依次为p1, p2, , pn.,Ap1, p2, , pn = 1p1, 2p2, , npn,可见, p1, p2, , pn就是A的n个线性无关 的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,于是P 1AP = diag1, 2, , n,p1, p2, , pn, 对应的特征值依次为1, 2, , n,(充分性)设A的n个线性无关的特征向量依次为,则Ap1, p2, , pn = 1p1, 2p2, , npn.,记P = p1, p2, , pn, 则上式可写成 AP = Pdiag1, 2, , n,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,推论a. n阶复方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个ni重特征值i有ni个线性 无关的特征向量, 即秩(iIA) = nni.,推论b. 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A 与对角矩阵相似.,三. 方阵的相似对角化,对于n阶方阵A, 求可逆矩阵P, 使P 1AP为 对角矩阵这件事称为矩阵A的相似对角化.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,求|IA| = 0的根,A可以相似对角化,秩(iIA) = nni?,A不能相似对角化,例1 2 3,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,例6. A =,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值 = 3, i中有两个是虚数,所以A不与实对角矩阵相似.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,(3IA)x = 的基础解系: p1 = 5, 3, 1T,(iIA)x = 的基础解系: p2 = 0, i, 1T,(iIA)x = 的基础解系: p3 = 0, i, 1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,5.3 实对称矩阵的相似对角化,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,1. 复矩阵的共轭矩阵,设A = aijmn, aijC.,A的共轭矩阵.,可以验证,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,2. 实对称矩阵,定理5.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.,从而,另一方面,两式相减得,向量x满足Ax = x, 则,又因为x非零, 故,因此,可见为实数.,事实上, 设复数为对称矩阵A的特征值, 非零复,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,定理5.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.,于是(12) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.,从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理5.9. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q 1AQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = q1, q2, , qn的列向量组是A 的对应于1, 2, , n的标准正交特 征向量.,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,推论.设是n阶实对称矩阵A的r重特征值, 则 对应于恰有r个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例7. 把,正交相似对角化.,解: |IA| = (2)(4)2. 所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2IA)x = 的基础解系1= (0,1, 1)T. (4IA)x = 的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即 可得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,注: 对于2=3=4, 若取(4IA)x = 的基础解系 2=(1, 1, 1)T, 3=(1, 1, 1)T, 则需要将它们正交化. 取1= 2,再单位化, 即得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例8. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = 1, 2, 2T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,证明(1): 由定理5.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值, 所以A有两个 线性无关的特征向量1, 2对应于=1.,注意到1, 2, 3线性无关, 而, 1, 2, 3 线性相关, 可设 =k11+k22+k33,故 =k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3, = 3, 1 = 3, 2 = 0得k3=0,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,解(2): 由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵,例8. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = 1, 2, 2T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=2, 1, 2T, 2 =2, 2, 1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,Q =,由此可得A =