建筑力学13-梁的变形.ppt

第十章 梁的变形,1,了解梁的曲率公式、 2,了解用积分法求梁的变形、 3,掌握用叠加法求梁的变形。 4,了解提高梁刚度的措施。,10.1 弯曲变形的概念,以图10.1所示的简支梁为例，说明平面弯曲时变形的一些概念。取梁在变形前的轴线为x轴，与x轴垂直向下的轴为y轴。 xAy平面就是梁的纵向对称面，荷载作用在这个平面上，梁变形后的轴线将成为此平面内的一条曲线，这条连续而光滑的曲线称为梁的挠曲线。,图10.1,梁的弯曲变形可用两个基本量来度量： (1) 挠度 梁任一横截面的形心C，沿y轴方向的线位移CC，称为该截面的挠度，通常用y来表示。以向下的挠度为正，向上的挠度为负。 (2) 转角 梁的任一横截面C，在梁变形后绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用表示。以顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。,10.1.1 挠度和转角,梁上各横截面的挠度y，随着截面位置x的不同而改变，这种变化规律用挠曲线方程表示为 y=f(x) 挠曲线上任意一点处的斜率为 tan=dy/dx 在工程实际中，梁的变形极小，即极小，所以有tan，则 =dy/dx=f(x) 称为转角方程，反映了挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。,10.1.2 挠曲线方程,式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。在图10.2所示的坐标系中，弯矩的符号仍用第9章中的规定：M为正，挠曲线向下凸，二阶导数d2y/dx2 为负；M为负，挠曲线向上凸，二阶导数d2y/dx2 为正。 上式称为梁的挠曲线近似微分方程。,10.1.3 挠曲线近似微分方程,图10.2,10.2 用积分法求梁的变形,为了计算梁的变形，可以直接对挠曲线近似微分方程式进行积分。对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，积分一次，可以得到转角方程 再积分一次，可以得到挠曲线方程,【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用符号f表示)和两端截面的转角A和B。 【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程 RA=RB= ql/2 M(x)= qlx/2 - qx2/2 EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 (2) 积分 将上式连续积分两次，可以得到 EI dy/dx =EI=- qlx2/4 + qx3/6 +C EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D,图10.3,(3) 确定积分常数 简支梁的边界条件是在左、右两端铰支座处的挠度为零，即 x=0，y=0 x=l，y=0 代入式(b)得 D=0，C= ql3/24 (4) 列出转角方程和挠曲线方程 将C、D值代入式(a)和式(b)，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为： = -1/EI (qlx2/4 - qx3/6- ql3/24 ) y= -1/EI(qlx3/12 - qx4/24X- ql3x/24),(5) 求ymax、A和B 由对称性，可知梁的最大挠度ymax(或f)在跨中截面，将x= l/2 代入式(d)，得 f=ymax= 5ql4/384EI 正号表示f的方向向下。 将x=0代入式(c)，得 A= ql3/24EI 正号表示A为顺时针转向。 将x=l代入式(c)，得 B=- ql3/24EI 负号表示B为逆时针转向。,【例 11.2】承受集中荷载P的简支梁如图10.4所示， EI为常数。试求此梁的最大挠度ymax和两端截面的转角A和B。 【解】(1) 列弯矩方程 支座反力： RA= Pb/l ，RB= Pa/l 因为集中荷载P将梁分为两段，各段的弯矩方程不同，因此需分别写出它们的弯矩方程。 AC段： M(x1)= Pb/l x1(0x1a) CB段： M(x2)= Pb/l x2-P(x2-a)(ax2l),(2) 列出挠曲线近似微分方程 AC段： EId2y1/dx12=-M(x1)=- Pb/lx1 积分后可得 EIdy1/dx1=EI1=- Pb/lx12/2 +C1 EIy1=- Pb/lx13/6 +C1x1+D1 CB段: EId2y2/dx22=-M(x2)=- Pb/lx2+P(x2-a) 积分后可得 EIdy2/dx2 =EI2=- Pb/l x22/2 +P (x2-a)2/2 +C2 EIy2=- Pb/lx23/6 +P (x2-a)3/6 +C2x2+D2,(3) 确定积分常数 为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外，还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。 边界条件： x1=0，y1=0 x2=l，y2=0 连续条件： x1=x2=a，1=2y1=y2 将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分常数 D1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2),(4) 列出转角方程和挠曲线方程 将所求得的四个积分常数代回式(a)、(b)、(c)、(d)，得转角和挠曲线方程。 AC段： 1=dy1/dx1 = Pb/6lEI(l2-3x21-b2) y1= Pbx/6lEI (l2-x21-b2) CB段： 2= Pa/6lEI (2l2+3x22-6lx2+a2) y2= Pa(l-x)/6lEI (2lx2-x22-a2),(5) 计算A、B和ymax 将x=0代入式(e)，得 A= Pab(l+b)/6lEI 将x=l代入式(g)，得 B=- Pab(l+a)/6lEI 当= dy/dx =0时，y为极值，所以应首先确定转角为零的截面的位置。在本例题中，设ab。由式(e)知，当x1=0时，10；当x1=a时，10。因此=0的截面必然在AC段内。 令dy1/dx1 =1=0 解得 x1=l2-b2/3,将上式x1的值代入式(f)，得 ymax= 3Pb/27lEI (l2-b2)3 从式(i)可知： 当b0时 x1=l2/3 =0.577l 当b= l/2 时 x1=0.5l 从式(j)和式(k)可以看出，集中荷载P的位置对于最大挠度位置的影响并不大。因此，为了实用上的方便，不管集中荷载P的位置如何，都可用跨度中点的挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差。,10.3 用叠加法求梁的变形,从上节可知，梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系。于是，可以用叠加法来计算梁的变形。即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度的代数和。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表11.1中查得。,【例10.3】简支梁受荷载作用如图10.5(a)所示。试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处截面的转角。 【解】梁的变形是均布荷载q和集中力偶M共同作用引起的。把作用在梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图10.5(b)、(c)所示。 在均布荷载q单独作用下，由表11.1查得： yCq= 5ql4/384EI，Aq= ql3/24EI ， Bq=- ql3/24EI 在集中力偶M单独作用下，由表11.1查得： yCM= Ml2/16EI，AM= Ml/3EI， BM=- Ml/6EI,图10.5,根据叠加原理，在均布荷载q和集中力偶M共同作用时 yC=yCq+yCM= 5ql4/384EI + Ml2/16EI A=Aq+AM= ql3/24EI + Ml/3EI B=Bq+BM=- ql3/24EI - Ml/6EI,【例11.4】一悬臂梁受荷载作用如图10.6(a)所示。试用叠加法求自由端B截面的挠度yB和转角B。 【解】为了直接利用表11.1的结果，将均布荷载从BC延长到A，为了不改变原梁的实际荷载作用情况，从A至C加上荷载集度相同而方向相反的均布荷载，如图10.6(b)所示。这样，图10.6(b)所示的梁与原梁的受力和变形是完全相同的。 作用在图10.6(b)梁上的荷载可分解为图10.6(c)和图10.6(d)所示的两种简单荷载。 图10.6(c)所示的梁，自由端B截面的挠度和转角可由表10.1查得： yB1= ql4/8EI，B1= ql3/6EI,图10.6,图10.6(d)所示的梁，C截面的挠度和转角可由表11.1查得： yC=- q（l/2）4/8EI =-ql4/128EI C=- q（l/2）3/6EI =-ql3/48EI 由于CB段梁上没有荷载，在这一段梁上的弯矩为零，因而这一段梁不会发生弯曲变形，但它却会受AC段梁变形的影响而发生位移。由图10.6(d)可见，B截面的挠度和转角为 yB2=yC+Cl/2 =- ql4/128EI -ql3/48EIl/2 =- 7ql4/384EI B2=C=- ql3/48EI,根据叠加原理，原梁B截面的挠度和转角为 yB=yB1+yB2= ql4/8EI-7ql4/384EI= 41ql4/384EI B=B1+B2= ql3/6EI-ql3/48EI=7ql3/48EI,表10.1 常用梁在简单荷载作用下的变形,11.4 梁的刚度校核,所谓梁的刚度校核，就是检查梁的变形是否超过规定的允许值。 在土建工程中通常只校核挠度，其允许值常用挠度与梁的跨长的比值f/l作为标准。以f表示梁的最大挠度，其刚度条件可表达为 f/l f/l f/l的值一般限制在1/2501/1000范围内。根据构件的不同用途，在有关规范中有具体规定。 梁必须同时满足强度和刚度条件，通常是先按强度条件设计，然后用刚度条件校核。,【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如图10.7所示。已知材料的E=210GPa，=150MPa，f/l=1/400。试校核梁的强度和刚度。 【解】(1) 由型钢表查得18号工字钢 Wz=185cm3=185103mm3 Iz=1660cm4=1660104mm4 (2) 强度校核 Mmax= ql2/8 = 2432/8kNm=27kNm max= Mmax/Wz = 27106/185103MPa=146MPa,图10.7,(3) 刚度校核 由表11.1查得梁的最大挠度为 f= 5ql4/384EIz 所以 f/l = 5ql3/384EIz = 524(3103)3/3842101031660104 =0.00242f/l 此梁满足强度和刚度要求。,11.5 提高梁弯曲刚度的措施,从表10.1可以看出，梁的变形不仅与梁的支承和载荷有关，还与梁的材料、截面形状和跨长有关。以上诸因素可以概括为 变形 载荷(跨长)n/抗弯刚度 因此，要提高梁的弯曲刚度可以从以下几个方面考虑： (1) 增大梁的抗弯刚度EI 它包含两个措施：增大材料的弹性模量和增大截面的惯性矩。工程中常采用工字钢等型钢、组合截面及空心截面等。,(2) 减小梁的跨度 梁的变形与其跨度的n次幂成正比。因此减小梁的跨度，能显著地增加梁的刚度。 减小梁的跨度有两个办法：一种方法是采用两端外伸的结构形式，如图10.8(a)所示；另一种方法是增加支座数目，如图10.8(b)所示。显然，增加支座的梁变成了超静定梁，有关超静定梁的问题将在以后讨论。,图10.8,（3） 改善荷载的作用方式 在结构允许的条件下，合理地调整荷载的作用方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图10.9所示，将集中力P分散作用在全梁上，最大弯矩Mmax就由 Pl/4降低为 Pl/8 ，最大挠度f就由 Pl3/48EI 减小为 5Pl3/384EI。,图10.9,提高梁刚度的措施 1，弯剪关系的分析 1）长跨轻载，弯矩控制作用， 2）短跨重载，剪力控制作用， 2，弯挠关系的分析 1）材料的高强度可使强度满足要求，从而减少材料的用量，但挠度且需要高的E，所以在材料的选择上，要求强度和E相适应。 2）荷载与挠度的关系对于大跨的梁，可能由挠度控制，所以要加重梁的荷载，来达到双满，而短跨的梁，可能挠度过小，而应该减轻荷载。 3，改进结构布置 1）调整梁跨，以降低弯矩和挠度的峰值，如斗拱、伸臂梁、抹角梁、互搭梁。 2）多向传力，减轻弯矩和挠度的峰值，如双向板、交叉梁、井字梁。 3）利用支座约束，来减轻弯矩和挠度的峰值。如外伸梁、连续梁、固端梁,习题课2节,11.6 改进解构布置,梁用与荷载正交的杆件来承受荷载，传递力，以开辟室内空间。 其传力方式最不直接，必然承受弯、剪、并产生挠度。这虽无法根本避免，但在结构的布置上尚有若干改进手段。 1，调整梁跨，降低M，y峰值。 梁跨取决于使用空间的大小与对空间无碍要求的程度。减少梁跨就要增加内柱，而取消内柱，势必增加大梁的跨度。尤其是楼盖梁跨更不宜过大，否则梁高将占去很大的室内空间，影响使用空间的净高。因此，在满足使用功能要求的前提下，梁跨应适当，梁跨长意味着弯矩大，梁高大。建筑设计者必须把建筑的平面设计与剖面设计结合起来同时考虑。,1) 斗拱的概念。层层出挑，纵横双向重叠而成，以短跨代替长跨。这样使负弯矩不大，可利用小料，是一个以短跨代替长跨的典型例子。 2）层层抹角。西方古典木结构中惯用技法之一，用以跨越较大中心形平面的空