2019版高考数学大复习解析几何第47讲抛物线优选学案.docx

第47讲抛物线考纲要求考情分析命题趋势1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景3理解数形结合思想2017全国卷，202017全国卷，122017天津卷，122017浙江卷，211.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程2求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题)分值：5分1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_距离相等_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_焦点_，直线l叫做抛物线的_准线_.2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O_(0,0)_对称轴x轴y轴焦点F_F_F_F_离心率e_1_准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)_x0_x0_y0_y0_3与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()解析(1)错误当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线(2)错误方程yax2(a0)可化为x2y是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y.(3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形2抛物线y2x2的准线方程是(D)AxBxCyDy解析抛物线方程为x2y，p，准线方程为y.3抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(A)Ay28xBy212xCy216xDy220x解析准线方程为l：x6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则36a5，a，抛物线方程为y28x.4若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x2为准线的抛物线5在平面直角坐标系xOy中，有一点A(2,2)在抛物线y22px(p0)上，则该抛物线的准线方程是_x_.解析由题意可得44p，解得p1，所以焦点F，准线方程为x.一抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决【例1】 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_31_.解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，点P到y轴的距离d11，所以d1d2d21.易知d2的最小值为点F到直线l的距离，故d2的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.二抛物线的标准方程及其几何性质(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性【例2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p(C)A1BC2D3(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_6_.解析(1)因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交于点A，点B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.三直线与抛物线的位置关系及弦长问题(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式x1x2p；若不过焦点，则必须用弦长公式【例3】 (2017浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解析(1)设直线AP的斜率为k，kx.因为x0)的左、右焦点，点P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若12，则抛物线的准线方程为_x2_.解析将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点P的横坐标为3a.而由6a，又双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，3a2a6a，解得a1，抛物线的准线方程为x2.4(2018贵州贵阳高三摸底考试)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C与A，B两点，且|AB|8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线解析(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x，得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，点D的坐标为(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED，y2(x11)y1(x21)y2y1(y1y2)(y1y2)(y1y2).由(1)知x1x21，(y1y2)216x1x216，又y1与y2异号，y1y24，即10，kEBkED，又ED与EB有公共点E，B，D，E三点共线错因分析：将抛物线的非标准方程误认为是标准方程，得出错误的准线方程【例1】 抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为()ABC4D4解析抛物线的标准方程即为x2y，所以准线方程为y1，解得a.故选B.答案B【跟踪训练1】 抛物线yx2的准线方程是(A)Ay1By2Cx1Dx2解析由yx2得x24y，焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.故选A课时达标第47讲解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题、填空题的形式出现一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(C)AB1CD解析因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF.故选C2拋物线y2ax2(a0)的焦点是(C)AB或CD或解析抛物线的方程化成标准形式为x2y(a0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则 x0(A)A1B2C4D8解析由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.故选A4已知点P为抛物线y26x上一个动点，点Q为圆x2(y6)2上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是(B)ABCD解析结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即为.故选B.5直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为(D)A5B6C7D8解析设抛物线y24x的焦点为F，准线为l0，A(xA ，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|AF|BF|AM|BN|xA1xB1xAxB22xC28.6(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为(C)AB2C2D3解析依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314，又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为42.故选C二、填空题7若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_.解析设点 M(xM，yM)，则即x2xM30，解得xM1或xM3(舍去)故点M到该抛物线焦点的距离为xM1.8在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_x_.解析如图所示，线段OA所在的直线方程为yx，其中垂线方程为2xy0，令y0，得x，即F，p，y25x，其准线方程为x.9过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足(O为坐标原点)，则BOF的面积是_1_.解析由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知 k 存在)，则 A(0，k)又，B(1，k)由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOF|OF|yB|121.三、解答题10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的离心率为，抛物线C：x22py(p0)的焦点在双曲线的顶点上(1)求抛物线C的方程；(2)过M(1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)双曲线的离心率e，又a0，a1，双曲线的顶点为(0,1)，抛物线的焦点为(0,1)，又p0，1，抛物线方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率必存在设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)yx2，yx，切线l1，l2的斜率分别为，当l1l2时，1，x1x24，由得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，k0.由根与系数的关系，得x1x24k4，k1，满足，即直线l的方程为xy10.12已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OO12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析(1