2019版高考数学复习三角函数解三角形课时达标检测二十四解三角形的实际应用.docx

课时达标检测(二十四） 解三角形的实际应用练基础小题强化运算能力1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的南偏西_解析：由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.答案：802如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC_m.解析：tan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)答案：120(1)3.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100.答案：1004如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为_km.解析：8252285cos(D)3252235cos D，cos D.AC7(km)答案：75如图，已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60，俯角为60的C处轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距海岛A有_千米解析：由已知可求得AB，AC，BC，所以sinACB，cosACB.在ACD中，DAC906030，ACD180ACB，sinADCsin(ACDDAC)sinACDcosDACsinDACcosACD，由正弦定理可求得AD.答案：练常考题点检验高考能力一、填空题1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为_km.解析：如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10(km)答案：102如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为_km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6 km/h.答案：63一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：104.(2018镇江京口区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2260020t，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)答案：155如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是_km.解析：由题意，知BAC603030，ABC304575，则ACB180753075，ACAB4020(km)由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC20220222020cos 30800400400(2)，BC10(1)10()km.答案：10()6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：507.(2018常州调研)如图，在山底A点处测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_米解析：由题图知BAS453015，ABS45(90DSB)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1 000，BC1 000(米)答案：1 0008如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan ，tan 2，则BB160tan 245(m)答案：459江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：1010.(2018内蒙古月考)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是_km2.解析：如图，连结AC，由余弦定理可知AC，故ACB90，CAB30，DACDCA15，ADC150，即AD，故S四边形ABCDSABCSADC12(km2)答案：二、解答题11.已知在岛A南偏西38 方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船12(2018南京高三模拟)在一水域上建一个演艺广场如图，演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍在矩形表演台BCDE中，CD10 m，三角形水域ABC的面积为400 m2.设BAC.(1)求BC的长(用含的式子表示)；(2)若表演台的造价为0.3万元/m2，求表演台的最低造价解：(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以ABAC.在ABC中，SABCABACsin 400，所以AC2.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 4AC22AC2cos (42cos )，即BC