简单的二阶微分方程.ppt

重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。,总时数：6学时.,1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的通解或特解。,【学习目标】,【授课时数】,【重、难点】,一、可降阶的二阶微分方程,解,方程的特点：方程右端不显含未知函数y.,方程的解法：,则,将它们,代入方程得,令,解,代入原方程得,原方程通解为,例 3,例 4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线,分析,解,将此两式相除，得,取原点O到点A的距离为定值,于是有,建立坐标系如图所示，设曲线方程为,由题意得,，两端积分，得,小结,1.可降阶的高阶微分方程,2.不显含y的二阶微分方程,3.不显含x的二阶微分方程,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,思考题解答,练 习 题,解,受力分析,二、二阶线性微分方程,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:,程称为二阶线性微分方程.,称为二阶线性齐次微分方程.,称为二阶线性非齐次微分方程.,1二阶线性微分方程的定义,形如,这样的微分方程,/,2二阶线性齐次微分方程解的结构,问题:,例如,线性无关;,线性相关.,特别地:,例如,3二阶非齐次线性微分方程解的结构,三、二阶常系数线性微分方程,形如,这样的,微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,形如,这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程,例如,是二阶常系数齐次线性微分,方程；,是二阶常系数非齐次线性微分,方程,1二阶常系数齐次线性微分方程解法,将其代入上方程, 得,特征方程,特征根,（1）有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,（2）有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,（3）有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,的特征方程是,的通解,解,的特征方程为,解得,故所求微分方程的通解为,例1,的特解.,解,的特征方程为,解得,所求微分方程的通解为,将,分别代入上两式，解得,所求微分方程的特解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,小结,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,练 习 题,二阶常系数非齐次线性方程,对应的齐次方程,通解结构,两种类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,2二阶常系数非齐次线性微分方程解法,综上讨论,设,是非齐次方程的解，,解,对应齐次方程的通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,解,对应齐次方程的特征方程,例2,对应齐次方程的通解,特征根,原方程通解为,解,特征方程,例3,对应齐次方程的通解,特征根,原方程通解为,小结,(待定系数法),思考题,写出微分方程,的待定,特解的形式.,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,思考题解答,练 习 题,通过本课题学习，学生应该达到： 1会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解； 2