数模竞赛中的统计方法选讲.ppt

数模竞赛中的统计方法选讲,主讲人：勾明,一个原理 两个特征 三个分布,随机事件的频率稳定性原理 随机事件的概率是频率的稳定值,考察频率分布可知，当试验次数越来越多时，频率也就会越来越稳定于某个数，这就是说， 某一测量结果出现的次数与测量总次数之比会逐渐稳定于某个值，该值就是该试验结果的 概率。从频率分布曲线图上也可看出，当n，组距0时，随机样本的频率密度分布就 会成为一条连续的曲线。若该曲线以y = f(x)表示，则f(x)就称为x的概率密度函数。,测量数据的频率密度直方图。,图1 频率密度分布逐渐接近正态分布示意,其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2).,若随机变量,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； f()maxf(x) .,正态分布有两个特性：,(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻， 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则,设 XN(,2),则P-3X+3=0.997,该结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P|X- |3 1，忽略|X- |3的值. 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,99A:自动化车床管理,附:100次刀具故障记录(完成的零件数),MATLAB 统计工具箱,a,b=hist(x,9); a=a/length(x); bar(b,a);,MATLAB 统计工具箱,要对一组样本进行正态性检验，在MATLAB中，一种方法是用normplot画出样本，如果都分布在一条直线上，则表明样本来自正态分布，否则是非正态分布。,normplot(x),MATLAB中也提供了几种更正式的检验方法： 1、函数 kstest：Kolmogorov-Smirnov 正态性检验，将样本与标准正态分布（均值为0，方差为1）进行对比，不符合正态分布返回1，否则返回0；该函数也可以用于其它分布类型的检验； 2、函数 lillietest: Lilliefors test。 与kstest不同，检验目标不是标准正态，而是具有与样本相同均值和方差的正态分布。 lillietest(x) ans =0 3、函数 jbtest: Jarque-Bera test与 Lilliefors test 类似，但不适用于小样本的情况。 jbtest(x) ans =0,泊松(Poisson)分布P() XPXk , k0, 1, 2, (0),泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 如某一服务设施在一定时间内到达的人数， 电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数， 自然灾害发生的次数等等。,指数分布,则称X服从参数为0的指数分布。 其分布函数为,随机变量两个重要的数字特征,数学期望是衡量随机变量取值平均大小 程度 的一个数字特征。,方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。,定义 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称,为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。,若Xf(x), -x,为X的数学期望。,则称,定义 若E(X2)存在，则称 EX-E(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,可见,协方差，相关系数,协方差 若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称Cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 为X与Y的协方差, 易见 Cov(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,相关系数 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数.,2.相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;,协方差矩阵,定义 设X1， , Xn为n个r.v., 记cij=Cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1， , Xn的协方差矩阵C。即,统计中常用的三种分布,一、 2分布,数理统计中常用到如下三个分布： 2分布、 t 分布和F分布。,2.2分布的密度函数f(y)曲线,3. 分位点 设X 2(n)，若对于：01， 存在,满足,则称,为,分布的上分位点。,1.构造 若XN(0, 1), Y2(n), X与Y独立，则,t(n)称为自由度为n的t分布。,二、t分布,2. t(n) 的概率密度为,3.分位点 设Tt(n)，若对:00， 满足PTt(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点,注:,三、F分布,1.构造 若U 2(n1)， V2(n2)，U， V独立，则,称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为,2. F分布的分位点 对于：00， 满足 PFF(n1, n2)=， 则称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；,注：,两个特征,一个原理： 小概率事件的实际不可能性原理。它的重要应用是假设检验问题,(一) 两类问题 1、参数假设检验,总体分布已知, 参数未知, 由观测值x1, , xn检验假设 H0：=0；H1：0,2、非参数假设检验,总体分布未知, 由观测值x1, , xn 检验假设H0：F(x)=F0(x;); H1： F(x)F0(x;),以样本(X1, , Xn)出发制定一个法则, 一旦观测值(x1, , xn)确定后, 我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H1, 这种法则称为H0对H1的一个检验法则, 简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间S, 把S分成两个互不相交的子集W和W*, 即S=WW*, WW*= 假设当(x1, , xn) W时, 我们就拒绝H0；当(x1, , xn) W*时, 我们就接受H0。子集W S就称为检验的拒绝域(或临界域 )。,(二) 检验法则与拒绝域,(三) 检验的两类错误 称 H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称 H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。 记 p(I)=p拒绝H0| H0真; P(II)=p 接受H0| H0假,对于给定的一对H0和H1, 总可找出许多拒绝域, 人们自然希望找到这种拒绝域W, 使得犯两类错误的概率都很小。 奈曼皮尔逊 (NeymanPearson)提出了一个原则： “在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下, 尽量使犯第二类错误 小”按这种法则做出的检验称为“显著性检