椭圆及其标准方程(一)(刘建军).ppt

2.2.1椭圆及其标准方程(一),东莞中学松山湖学校 刘建军,问题:,(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?,(2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是 什么呢？,数 学 实 验,同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无弹性细绳的两端用图钉固定，一支 铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？,反 思,（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ （2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ （3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？,（1）在平面内,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长2a|F1F2|,反思：,平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,一、椭圆的定义,F1,F2,M,二、如何得到椭圆曲线的方程?,问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？,(2) 如何建立适当的坐标系？,O,x,y,方案一,O,x,y,方案二,（1）建系设点;,（2）写出点集；,（3）列出方程；,（4）化简方程；,（5）证明（可省略）。,(2) 如何建立适当的坐标系？,o,x,y,方 案 一,o,x,y,方 案 二,o,x,y,方 案 三,o,x,y,方 案 四,(1)建系设点:,(2)写出点集:,(3)列出方程:,(4)化简方程:,问题2:求曲线方程的步骤是什么?(以方案一为例),O,x,y,F1,F2,M,方案一,以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点 建立平面直角坐标系，,设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,O,x,y,F1,F2,M,如图所示:F1、F2为两定点，且 |F1F2|=2c，求平面内到两定点 F1、F2距离之和为定值2a(2a2c) 的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面 直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则椭圆就是集合P=M|MF1|+ |MF2|=2a,如何化简?,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c0，即ac0，所以a2-c20，,(ab0),两边同除以a2(a2-c2)得:,P,那么式就是,O,x,y,F1,F2,M,O,x,y,F1,F2,M,椭圆的标准方程,焦点,焦点,Y,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,三.例题精析,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,(2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,|PF1|+|PF2|=2a,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为：,(2) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,(2) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的解题步骤：,（1）确定焦点的位置；,（2）设出椭圆的标准方程；,（3）用待定系数法确定a、b的值， 写出椭圆的标准方程.,又焦点的坐标为,1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,四.课堂练习,（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： a=4，b=1，焦点在x轴上； ，焦点在Y轴上； a+b=10， 。,2.（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为 （ ）