《导数的应用问题》PPT课件.ppt

第4章 导数的应用问题,1中值定理,设函数 y=f (x) 在点 x0 的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于 x0 的 x 值,都有 f (x) f (x0) ( 或 f (x) f (x0) ) 则称函数f (x)在点x0处取得极大值(极小值) f (x0),而x0称为函数f (x)的极大点(或极小点),函数极值的概念,极大值和极小值统称为函数的极值.,极大点和极小点统称为函数的极值点.,费马(Fermat)定理 如果 x0是函数 f(x)的极值点,并且f(x)在该点可导, 则 f (x0) 0 (逆命题不一定成立),例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f(x)=2x,f(0)=0,例如,函数y=x3,f(x)=3x2,f(0)=0, 但x=0不是y的极值点,函数驻点的概念,使导数f(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点,可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.,拉格朗日中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间a b上连续; (2) 在开区间(a b)内可导, 那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)= f (x) (b-a) ,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间a b上连续; (2) 在开区间(a b)内可导, 那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)= f (x) (b-a) ,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间a b上连续; (2) 在开区间(a b)内可导, 那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f(b)-f(a)= f (x) (b-a) ,拉格朗日中值公式,在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1x2) 应用拉格朗日中值定理 在(x1, x2)内至少存在一点 x, 使 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1) (x1x x2) 由假定 f (x)0 所以 f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1) 因此 f(x)在区间 I 上是一个常数,推论 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一个常数,证明,应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立,罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间a b上连续; (2) 在开区间(a b)内可导; (3) f(a) f(b), 那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f (x) 0 ,罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间a b上连续; (2) 在开区间(a b)内可导; (3) f(a) f(b), 那么在(a b)内至少存在一点 x 使得 f (x) 0 ,3.2 洛必达法则,还有其它类型的未定式 0、00、1、0,未定式,未定式举例 下列极限都是未定式,(0型),(00型),(1型),(0型),(型),( 型),( 型),如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小 (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0,洛必达(LHospital)法则(应用于,那么,型不定式),注：当x时，相应法则仍成立。,例,解,例,解,例,解,如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当xa时的无穷大 (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0,洛必达(LHospital)法则(应用于,那么,型不定式),解,例,解,例,例,解,例,解,例,解,1.,解,极限不存在,洛必达法则失效.,思考题: 以下解法对否?,注意：洛必达法则的使用条件,2.,解,1.,解,思考题: 以下解法对否?,2.,解,注意：洛必达法则的使用条件,3 函数的单调性、极值、最大值和最小值,3.1 函数单调性的判定法,3.2 函数的极值,3.3 函数的最大值和最小值,f (x)0,f (x)0,观察结果,函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零,观察与思考,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,函数单调性的判定法,导数符号的几何意义：导数为正，曲线上升，导数为零，曲线不升不降，导数为负，曲线下降,定理 设函数f(x)在(a, b)内可导，则该函数在区间(a b)内单调增加（单调减少）的充要条件是：f (x) 0 （ f (x) 0 ),x(a,b),而f (x) =0只在个别点处成立,例如：y=x3, y=3x20,所以 x3在（- ，+ ）内单调增加。,推论（充分性） 若函数f(x)在某区间(a, b)内的导数为正（或为负），即f (x) 0（或 f (x) 0 ),则函数f(x)在该区间内单调增加（或单调减少）,用导数求函数单调区间的方法 求驻点，将区间分解为几个子区间 对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区间的单调性。,例：求函数f(x)=(x-1)2-4的单调区间。,解：函数的定义域为（- ，+ ）， 由f(x)=2(x-1)(x-1)=2x-2=0,可得驻点 =1,当x1时， f(x)0.所以函数f(x) 在（- ，1）上单调减少，在（1，+ ）上单调增加。,提问： f(a)和 f(b)是极值吗？,函数的极值,函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考： 观察极值与切线的关系.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理,观察与思考： 观察曲线的升降与极值之间的关系.,设函数f(x)在x0处连续 且在(a x0)(x0 b)内可导 (1)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x)在x0处没有极值,判别法则I(第一充分条件),确定极值点和极值的步骤,(1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.,判别法则I(第一充分条件),设函数f(x)在x0处连续 且在(a x0)(x0 b)内可导 (1)如果在(a x0)内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x)在x0处没有极值,判别式II(第二充分条件),设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 (1)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值.,应注意的问题： 如果f (x0)0 f (x0)0 则定理3不能应用 但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值.,讨论： 函数 g(x)x3在点x0是否有极值？,最大值最小值问题,观察与思考： 观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点, 怎样求函数的最大值和最小值.,闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者; 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者,极值与最值的关系,最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ; (3)判断: 最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值,极值VS最大值、最小值 (1)极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内可以有多个极大值或极小值; (2)最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围内只有一个最大值和一个最小值。,例 求函数f(x)|x23x2|在3 4上的最大值