《次曲面讨论》PPT课件.ppt

,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第六章 二次型与二次曲面,问题式预习及思考题,思考题： 利用投影曲线的思想来求一个直线在三个坐标平面上的投影直线？,1. 7类二次曲面的标准方程的特点是什么？,2. 如何判断一个一般式二次曲面的类型？,直线 l1: 2x y + z + 1 = 0,x 3y + 2z + 4 = 0.,直线 l2:,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,三. 投影柱面与投影区域,从c到的投影柱面S:以c为准线, 母线垂直的柱面.,c在上的投影曲线：S与的交线 (简称投影).,c在xOy面上的投影曲线方程为,(1) 设空间曲线c的方程为,f(x, y) = 0,消去z得投影柱面:,(2),6.3 二次曲面,一. 二次曲面的标准方程,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,1. 椭球面,b,c,当a = b = c = R时半径为R的球面,当a, b, c中有两个相等时旋转椭球面,x = 0,y = 0,z = 0,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,2. 单叶双曲面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转单叶双曲面,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,3. 双叶双曲面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转双叶双曲面,无交,z = k, |k|c,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,4. 二次锥面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时圆锥面,z = k,(0,0,0),6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,5. 椭圆抛物面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转抛物面,(0,0,0),z = k0,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,6. 双曲抛物面,(a0, b0),(马鞍面),y2 = 2b2z,x = 0,y = 0,z = 0,x2 =2a2z,当a, b相等时也不是旋转曲面,z = k,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,7. 椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面 x2 = 2py (p 0),6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例1. 请指出曲面z = xy的类型.,其中|Q| = 1.,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,可见原方程表示一个双曲抛物面.,则原方程化为 x2 y2 = 2z,x y z,令,=,0,0,0 0 1,x y z,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,二. 一般方程表示的二次曲面,a11x12 + a22x22 + a33x32,+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3+ 2a23x2x3,+ b1x1 + b2x2 + b3x3 + c = 0,一般方程,二次型,xTAx,+ + c = 0,BTx,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,x = Qy,作直角系的旋转变换,作坐标轴的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,二. 一般方程表示的二次曲面,即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0,标准方程,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,仍为正交变换,p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3 = 1,例2. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面 A正定,而1 = 2 0,3 = |A| = 1k2/2.,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,x2+y2+z22xz+4x+2y4z5 = 0,例3. 试用直角坐标变换化简下面的方程.,|Q| = 1.,这表示一个椭圆柱面.,则原方程化为,令,再配方可得,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,可得x2 + 2z2 = 10,所作的直角坐标变换公式为,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例4