2020版高中数学第一章常用逻辑用语2.3充要条件学案北师大版.docx

23充要条件学习目标1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断知识点一充要条件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件知识点二充要条件的判断1由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假pq，但qpp是q成立的充分不必要条件假真qp，但pqp是q成立的必要不充分条件真真pq，qp，即pqp是q成立的充要条件假假pq，qpp是q成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立1“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件()2若命题“若p，则q”及其否命题都是真命题，则pq.()3若命题“若p，则q”及其逆命题都是假命题，则pq，qp()4若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()题型一充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：sinsin，q：.考点充要条件的判断题点识别四种条件解(1)四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p是q的充分不必要条件(3)当x1或x2时，可得x1成立，反过来，当x1时，可以推出x1或x2，p是q的充要条件(4)由sinsin不能推出，反过来由也不能推出sinsin，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件则p是q的既不充分又不必要条件反思感悟充要条件的常用判断方法(1)命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件(2)集合法若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当AB时，p是q的充要条件跟踪训练1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b；(2)p：yx4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形解(1)若a，b，c成等比数列，则b2ac，b，则pq；若b，当a0，b0时，a，b，c不成等比数列，即qp，故p是q的既不充分又不必要条件(2)yx4不能得出x1，y3，即pq，而x1，y3可得xy4，即qp，故p是q的必要不充分条件(3)当ab时，有2a2b，即pq，当2a2b时，可得ab，即qp，故p是q的充要条件(4)方法一若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形，即pq；若ABC为等腰三角形也不能得出ABC为直角三角形，即qp，故p是q的既不充分又不必要条件方法二如图所示，p，q对应集合间无包含条件，故p是q的既不充分又不必要条件题型二充要条件的探求与证明命题角度1探求充要条件例2求关于x的不等式ax2ax1a0对一切实数x都成立的充要条件考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件解充分性：当0a时，判别式a24a(1a)5a24aa(5a4)0对一切实数x都成立而当a0时，不等式ax2ax1a0化为10.显然当a0时，不等式ax2ax1a0对一切实数x都成立必要性：因为ax2ax1a0对一切实数x都成立，所以a0或解得0a.故0a0对一切实数x都成立的充要条件反思感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练2“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案a1解析函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：ac0，方程一定有两个不等实根，设两实根为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：方程ax2bxc0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.反思感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即qp；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即pq.跟踪训练3求证：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：如果b0，那么f(x)kx，因为f(x)k(x)kx，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数必要性：因为f(x)kxb(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)对任意x均成立，即k(x)b(kxb)，所以b0.综上，一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.题型三充分条件与必要条件的应用例4已知p：3xm0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解由3xm0得，x0得，x3.q：Bx|x3pq而qp，A是B的真子集，1，m3，即m的取值范围是3，)反思感悟首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解同时要注意命题的等价性的应用跟踪训练4已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A2，) B(2，)C1，) D(，1考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围答案B解析q：x2，由题意知，x|xkx|x2，则k2，k的取值范围是(2，).1“2x1或x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案C解析2x1或x1或x12x1，“2x1或xb”是“a|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案B解析由a|b|ab，而aba|b|.3已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案A解析当m2时，a(4,4)，b(1,1)，ab，当ab时，m24，即m2，故选A.4直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案m4或m0解析圆心(1,1)到直线xym0的距离为，即，解得m4或m0.5设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.答案3或4解析由164n0，得n4，又nN，则n1,2,3,4.当n1,2时，方程没有整数根；当n3时，方程有整数根1,3，当n4时，方程有整数根2.综上可知，n3或4.1充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件一、选择题1“x，y均为奇数”是“xy为偶数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案A解析当x，y均为奇数时，一定可以得到xy为偶数；但当xy为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数2设p：x3，q：1x3，则p是q成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案C解析x31x3，但1x3x1”是“数列an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断答案D解析当数列an的首项a11，则数列an是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1”是“数列an为递增数列”的既不充分又不必要条件故选D.4设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案D解析aba2b2，a2b2ab，ab是a2b2的既不充分又不必要条件5函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案A解析f(x)x2mx121，f(x)的图像的对称轴为x，由题意得1，m2.6已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点识别四种条件答案A解析prsq，故qp，否则rp，故选A.7“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()AmB0m0Dm1考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数答案C解析不等式x2xm0在R上恒成立，则14m，结合各选项，可知“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m0.8在下列三个结论中，正确的有()x24是x34x2或x2，x38x2，由x2或x2或x2x4是x38的必要不充分条件；中，AB2AC2BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件；正确故正确9设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()A(0,5 B(0,5)C5，) D(5，)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围答案A解析由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，因为q：0xa，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0b”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；2，则cos2cos，coscos；coscos，cos“”是“coscos”的既不充分又不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)ax32x23(xR)为偶函数”的充要条件，故正确12关于x的方程m2x2(m1)x20的实数根的总和为2的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案m0解析当m0时，原方程即为x2，满足条件；当m0时，有2，解得m1或m，又(m1)28m2，当m1及m时，均使0，故充要条件是m0.三、解答题13已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的一个必要不充分条件考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数解由MPx|5x8知，a8.(1)MPx|5x8的充要条件是3a5.(2)MPx|5x8的充分不必要条件，显然，a在3,5中任取一个值都可以(3)若a5，显然MP5，3)(5,8是MPx|5x8的必要不充分条件故a3为必要不充分条件14已知p：0，q：4x2xm0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A6，) B(，2 C2，) D(2，)考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案A解析由0，得0x1，即p：0x1.由4x2xm0，得4x2xm.因为4x2x(2x)22x2