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文档简介
概率与统计 边缘分布与独立性,FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,2.5.边缘分布与独立性 一、边缘分布函数,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数;,边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ,i, j1, 2, 则称 PXxipi. ,i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律;,PY yjp.j ,j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 xy 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10,解: xy 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j,故关于X和Y的分布律分别为: X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,为(X, Y)关于X的边缘密度函数; 同理,称,易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数,而fY(y)是N(2, 22)的密度函数,故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,例3.设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布, 求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX1,设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,EX2,四、随机变量的相互独立性,定义 称随机变量X与Y独立,如果对任意实数ab,cd,有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb与事件cYd独立,则称随机变量X与Y独立。,定理:随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y),定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量,X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.,则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j,Pi,j=Pi.Pj 。,由上述定理可知,要判断两个随机变量X与Y的独立性,只需求出它们各自的边缘分布,再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,EX:判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立,例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立,求a、b的值。 解:由归一性,由独立性,例5.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达,先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。 解:,定义. 设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为F(x1,x2,.,xn), (X1,X2,.,Xn)的k(1kn)维边缘 分布函数就随之确定,如关于(X1, X2)的 边缘分布函数是 FX1,X2(x1,x2,)=F(x1,x2,.) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n,五n维随机变量的边缘分布与独立性,则称X1,X2,.Xn 相互独立,或称(X1,X2,.Xn)是独立的。,对于离散型随机变量的情形,若对任意整数 i1, i2, , in及实数 有,则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,设X1,X2,Xn为n 个连续型随机变量,若对任意的(x1, x2, , xn)Rn, f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 几乎处处成立,则称X1,X2,Xn相互独立。,定义 设n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.xn);m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的 分布函数为FY(y1,y2,ym), X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym 组成的n+m维随机变量(X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym) 的分布函数为F(x1,x2,.xn, y1,y2,ym). 如果 F(x1,x2,.xn, y1,y2,ym) = FX(x1,x2,.xn) FY(y1,y2,ym) 则称n维随机变量(X1,X2,.Xn)与m维随机 变量(Y1,Y2,Ym)独立。,定理 设(X1,X2, , Xn )与(Y1, Y2,, Ym )相互独立,则Xi (i=1, 2, , n)与Yi (i=1, 2, , m)相互独立;又若h, g是连续函数,则 h(X1,X2, , Xn) 与g(Y1, Y2,, Ym )相互独立.,2.7(续) 两个随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量(X,Y), (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ,i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,或,EX 设随机变量X与Y独立,且均服从0-1 分布,其分布律均为 X 0 1 P q p
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