工程力学10-弯曲内力.ppt

,工,程,弯曲内力,第十章,起重机大梁,镗刀杆,车削工件,火车轮轴,当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。 工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁。,纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面,平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。,平 面 弯 曲,常见弯曲构件截面,10-2 梁的计算简图,一、支座形式与支反力,1、活动铰支座 仅限制梁支承处垂直于支承平面的线位移，与此相应，仅存在垂直于支承平面的反作用力 。,2、固定铰支座 限制梁在支承处沿任何方向的线位移，因此，相应支反力可用两个分力表示。例如沿梁轴方向的支反力 与垂直于梁轴的支反力 。,3、固定端 限制梁端截面的线位移与角位移，因此，相应支反力可用三个分量表示：沿梁轴方向的支反力 ，垂直于梁轴方向的支反力 ，以及位移梁轴平面内的支反力偶矩 。,支座和载荷的简化,载荷的类型,1. 分布载荷q(x) 连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm， N/m。,因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力 q (x)dx，根据平行力系求合力：,合力着力点：在载荷图的面积形心上,当分布载荷分布区段很小，在一个dx段上时，往往简化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）,3集中力矩 M往往是梁上安装附属构件所引起的。,2集中力P,梁的类型及计算简图,计算简图,火车轮轴简化,非均匀分布载荷,二、梁的类型,静定梁：利用平衡方程可确定全部支反力的梁。,1、简支梁,2、悬臂梁,3、外伸梁,静不定梁（超静定梁） 定义：仅靠平衡方程不能求解确定全部支反力的梁,10-3剪力与弯矩,用截面法分析任一截面 上的内力,内力 Fs,内力偶矩 M,分析约束反力：,仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量,例 确定悬臂梁m-m处的内力,1求出A处的约束反力,取m-m截面右侧分析,剪力,弯矩,若取截面的左侧分析,由此可知，取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反。,使保留段顺时针转,使保留段逆时针转,使梁变为凹形的弯矩为正,使梁变为凸形的弯矩为负,+ (Fs0),- (Fs0),三、符号规定 剪力：规定对微段内任一点的矩顺时针的剪力为正，逆时针 的剪力为负。 弯矩：规定使微段产生上凹下凸的弯矩为正，否则为负。,剪力和弯矩的符号规则:,根据变形确定内力符号,剪力 Fs,弯矩 M,例 求梁AB截面I-I II-II的剪力和弯矩。,1计算梁的约束反力,2选择I-I截面左侧为研究对象计算弯矩剪力,如何预设剪力和弯矩为正方向？,3选择II-II截面右侧为研究对象计算弯矩剪力,如何预设剪力和弯矩为正方向？,求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：,1、求出约束反力（重要）；,2、选择被截下部分的梁作为研究对象，并预设剪力弯矩为正方向，画出受力分析图；,3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。,举例,求 C、B截面上的内力,又该同学们先思考了! 最好动动手! 时间只有2分钟!,解：（1）求约束反力,假设约束反力方向,水平反力 XA=0,由平衡方程：,（2）计算 C 截面内力,A,4Pa,（3）计算 B 截面内力,B,例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的 剪力和弯矩。,10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图,由前面例题得到的结果知：,任一截面的 剪力： Fs=Fs (x)=该截面一侧所有外力的代数和，外力左上、右下为正，反之为负； 弯矩：M=M(x)=该截面一侧所有外力对该截面形心取矩的代数和，外力使梁的纵向纤维上压、下拉为正，反之为负；,由例题可以看出，用函数描点法画梁的剪力图和弯矩图的基本步骤如下： 对于简支梁和外伸梁，必须先求出其支座的约束反力。 确定梁的分段方案：一般以梁的支座位置、集中力、 集中力偶矩的作用点，以及分布力的起点和终点作为 各段的分界点。 用截面法求出各段的剪力方程和弯矩方程。 注意：各截面上内力一律设为正值。 根据内力方程的类型和特点，用函数描点法画出剪力 图和弯矩图。 完整的内力图，必须将“数值、符号、（特征值的）截 面点”这三大要素标注齐全。,例 作以下悬臂梁的剪力和弯矩图,1以A为原点建立x 轴,AB段中任取一个横截面m-m,取截面左侧作为研究对象,剪力方程:,弯矩方程:,2画出剪力弯矩图,弯矩的极值发生在固定端处，绝对值的大小为:,A右侧至B左侧梁段上并没有外加力（集中力/分布载）的作用，则A右侧至B左侧的剪力图表现为一条平行于 x 轴的直线，不发生突变。,例 作以下简支梁的剪力和弯矩图,计算反力,由于C点存在集中力，因此AC和CB段的剪力方程、弯矩方程并不一定相同。,取AC段中某截面左侧部分进行受力分析：,取CB段中某截面右侧部分进行受力分析：,由此可知本例中的剪力方程和弯矩方程都是分段函数。,剪力方程：,弯矩方程：,C处存在集中力F,剪力图上发生突变,突变的大小为,若梁上某点作用一向下（上）的集中力，则在剪力图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，剪力突变的大小等于该集中力的大小。,课堂练习 作以下简支梁的剪力弯矩图，并找出剪力弯矩图中的相关规律（时间5分钟）,C处存在集中力偶M0,弯矩图上发生突变,突变的大小为,若梁上某点作用一逆（顺）时针的集中力偶，则在弯矩图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，弯矩突变的大小等于该集中力偶的大小。,例 作以下简支梁的剪力和弯矩图，并找出剪力图或弯矩图的规律,剪力方程:,弯矩方程:,整个梁段上存在均布载荷q,剪力图上发生线性渐变,渐变总的值为:,等于均布载荷载整个梁段上的作用力的大小。,若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。,例 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）,1求约束反力,在CA AD DB三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。,2取CA段中任意截面的左侧部分加以分析:,3取AD段中任意截面的左侧部分加以分析:,4取DB段中任意截面的右侧部分加以分析,整个梁的剪力和弯矩方程如下,求AD段的极值：,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,如图所示简支梁受到载荷的作用：,建立坐标系,取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正,将该微段取出，加以受力分析,由（1）式可得:,（2）式中略去高阶微量,载荷集度q、剪力FS、弯矩M之间存在着微分关系:,剪力图上某点的斜率等于载荷集度的数值,弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值,若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格,通过这两式，也可验证:,若在梁上的某截面上FS(x)=0, 则在该截面上的弯矩具有一极值（极大或极小）。 弯矩的极值发生在剪力为0的截面上。,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系：,q0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,2.q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变,二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系,载荷集度、剪力和弯矩的积分关系：,1.两截面上的剪力之差两截面间载荷图的面积,2.两截面上的弯矩之差两截面间剪力图的面积,例：,例：,上图表示了荷载集度、剪力、弯矩三者间的微分关系，这一关系也可用下面表来述叙：,1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,例题 试画出梁剪力图和弯矩图。,4求出剪力为零的点到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始画弯矩图,讨论: 下面的剪力弯矩图错在什么地方？（时间3分钟） （计算数值是否正确不考虑）,1-受到集中力，在剪力图上应发生突变。,2-剪力的数值为正，但弯矩图上相应的斜率为负。,3-剪力为0的截面上弯矩图上并未有极值。,4-CB段上剪力线性变小，弯矩图的斜率应逐步变小，而非图示变大。,例 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。,计算约束反力：,画出剪力图,根据微分关系列表如下,哪个是对的？,例 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。,约束反力计算略，可得A和B处的反力的大小。,直接画出剪力图,根据微分关系列表,例 不列