中学学习微积分的意义.ppt

中学学习微积分的意义,天地通用微积分：是研究各种科学的工具，是学生终生学习最重要的数学基础 在中学数学中，微积分是研究初等函数和几何问题最有效的工具： 平均值、单调性、极值、最值、求长度、面积、体积等 树立科学的世界观，用变化的观点观察世界,中学学习微积分的方法,直观微积分 通过直观说理学习微积分，而不是不说理。 平均速度和瞬时速度，平均变化率和瞬时变化率。 割线与切线斜率的计算 通过数值的近似计算理解微积分思想 计算器和计算软件的使用,微积分编写的指导思想,打破传统的教学顺序，越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心微积分基本定理. 本教材从学生所喜爱的登山运动出发，创设学习导数的情景，以测量山顶高度为实际背景，导出微积分学基本定理.这种做法的理论依据仅仅是中学生所熟知的直角三角形的解法,勾股定理,y,x,直角三形中的边角关系,教学要求理解微积分学大意,1. 以运动的平均速度、曲线割线的斜率为背景，认识函数的平均变化率；以运动的瞬时速度和曲线切线的斜率为背景，认识函数的瞬时变化率，从而引出导数的概念. 由此过程，让学生体会导数与现实生活多么密切，理解导数的真正含意.,2. 学会用导数定义，求出部分幂函数的导数，并记住基本初等函数的求导公式；并会用四则运算公式和复合函数的求导法则，求一些比较复杂的初等函数的导数，在求导过程中，进一步领会导数概念的实质.,3. 体会导数的重要价值： （1）导数对人们原先难以认识的函数性质和曲线的切线给出了通用的方法，使这些困难问题迎刃而解；同时导数可以帮助我们解决更多的数学问题； （2）导数可以解决某些现实生活中的优化问题，增强我们解决实际问题的能力.,4. 从寻求曲边梯形面积和变力作功出发，引出定积分概念，由此体会定积分的真正内涵；学会对最简单的函数求定积分（例如，y=c,x,x2, 1/x）；并理解如下运算：,5通过计算山顶的高度和变力所做的功，理解微积分基本定理，并通过该定理，认识到求导数和求积分互为逆运算，并会用导数公式来求定积分.,6在本章教学中，要注意让学生体会微积分学在认识论上的价值，体会任何高深的理论都源于简单的、基本的事实；任何复杂的事物可以化解为一个一个的简单问题；体会用微观认识宏观的辩证方法.要让学生了解微积分学在数学发展中重要作用和在现实生活中的意义.,二、教学要点学习微积分的一些关键步骤,1. 对直角三角形ABC， tan=b/a, 斜边c的斜率 是 k=tan=b/a. 某人从沿C从A走到B，高度在不断变化，变化的快慢可用数字k=b/a来描述.,设有线性函数 y=ax+b，其图像是直线l，从A沿l到B，函数y=ax+b的值在不断变化，其变化快慢（仿直角三角形）可用数 某人沿弯曲山路从A走到B，高度在不断变化，其变化快慢如何用数量描述呢？当曲线AB非常短时，可用割线AB近似地代表，即可用(f(x1)-f(x0)/(x-x0) 近似描述此段山路高度的变化快慢.,函数的平均和瞬时变化率,函数f(x) 区间x0, x1的平均变化率是 教材中以运动员跳水为例进行了计算瞬时变化率,曲线切线的斜率,y /x 当x0时， B A y /x k 就是切线l的斜率,A,B,l,x,y,简单初等函数的导数,c=0, x=1, (x2)=2x, (3/2 x) =3/2 x1/2, (sin x)=cos x, (cos x)=-sinx, （ex) = ex (ln x)=1/x.,两函数之和、差、积、商求导,掌握基本初等函数的求导公式是非常必要的，同时要记住两函数之和、之积、之商的求导公式.运用这两方面的结果，可以求出许多较为复杂函数的导数.,两点补充,（1）要理解复合函数的求导公式 y=f(u), u=g(x) fx (g(x)= fu gx (x). y=k1u, u=k2x y=k1k2x,2.直观理解sin x和cos x的 导数,x,x,x,O,A,B,C,D,E,对数函数lnx的导数,导数应用费马定理作奠基,如果函数f(x) 在x=x0 附近是可导的，而且均有f(x)f(x0) （或f(x)f(x0)），则必有f(x0)=0. f(x0)=0是x0为极值点的必要条件，于是极值点必在f(x)=0的解之中.人们一般称使f(x)=0的点为驻点，极值点必在驻点之列.,直观说明用导数判定函数的增减性和极值的判定,如果在x= x0附近，有（f(x0)0） (或f(x0) 0)，函数f(x) 在x0 附近是增加的（或减少的）； 若y=f(x)的图像在a, b上是一条连续不断的曲线，f(x) 在a, b必有最大值与最小值.,解极值问题,例1 求f(x)=(x-1)2x2-(3a+4)x+9a-4在区间 0， 3的最大值与最小值，其中常数a满足0a2. 例2 在直径为1 m的圆桌正上方安装一吊灯，桌面照度y=ksin(/r),其中r是灯与被照点的距离，是光线与桌面的夹角.为使桌边最亮，吊灯应离桌面多高.,例3 设 a、b、c为正数，则,f(x)无最大值,有最小值,最小值为f(x0),4定积分源于面积问题,如果学生问，矩形面积为什么等于长乘宽？其实这问题连大学生也未必能回答.至于曲线形面积是什么，更是一个艰难的问题.现在，我们姑且承认矩形面积公式，在直观的基础上，认识曲边形面积，最简单的曲边形是互相垂直的直线段，另一边是曲线段.例如由 y=x2，y=0, y=1 所围的曲边三角形.它的面积是一个客观存在，记为S，S是常数.将底边n等分，曲线