随机向量函数的分布与数学期望.ppt

为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布.,一、问题的引入,3.3 随机向量函数的分布与数学期望,一、离散型随机向量的函数的分布,设 为二维离散型随机向量，概率分布为,为二元函数，则随机向量函数,的概率分布为：,表上作业法,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2, ,的分布,水瓶座是一个富有开拓精神的人。水瓶座的人思维能力高于本能，是个先锋派人物。感兴趣的不是昨天而是明天。 （摘自百度）,我们班中有多少水瓶座的男生？,假如我们班中有 m 名男生，其中 X 人是水瓶座的，p 为任一名男生是水瓶座的概率. 按理来说， 都是确定的. 我能数出 m ，星座作为私隐，我无从知晓. 换而言之，X 对我来说是个随机变量. 其次，我可以很主观地认为 于是，X b ( m , p ) .,女生勒？,同样地，我们可以假设水瓶座的女生数目 Y b ( n , p ) ， 其中 n 为班中女生数目，,X + Y 服从什么分布？,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性（卷积封闭性）.,二项分布的可加性,若 X b(m, p)，Y b(n, p)，,Remark 若 Xi b(ni, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xk b(n, p) , n = n1 + n2 + + nk .,且独立，,则 Z = X+ Y b(m+n, p).,春田花花幼稚园的校长经营了一家粉面档，麦兜好想知道究竟有几多人会帮衬它。,设 X 为每天光顾的男性顾客。这是个典型的排队问题，所以可以设 X P ( 1 ) 同样地，每天光顾的女性顾客数目 Y P ( 2 ),X + Y 服从什么分布？,泊松分布的可加性,若 X P(1) ，Y P(2)，,Remark X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,解 依题意,例3.13 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,二、连续型随机向量的函数的分布,设 为二维连续型随机向量，密度函数为 为二元函数，则随机向量函数 的分布函数为：,更进一步，若设 的密度函数为 则下式对 几乎处处成立：,例3.14 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,连续型随机变量的和的卷积公式,Thm 设 的密度函数为 则的密度函数为,特别地，当 相互独立时，,习惯上，函数 的卷积定义为,所以，当 相互独立时，有,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是,例3.15 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,正态分布具有可加性,更一般地，有,独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,Cor 1 设 相互独立，则,Cor 2 设 且相互独立，则 即,同理可得,故有,当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为,更进一步地，我们有：,变量变换法,已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数,求 (U, V) 的分布.,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则 (U, V) 的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,增补变量法,可增补一个变量V = g2(X, Y) ，,若要求 U = g1(X, Y) 的密度 fU(u) ，,先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度fUV(u, v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度fUV(u, v)，去求出边际密度fU(u),例3.17 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:,1. M = max(X,Y) 的分布函数,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为:,最大值，最小值,Thm 设 相互独立，密度函数分别为 分布函数分别为 则,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i = 1, , n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i) 串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X 的概率密度为,所以 X 的分布函数为,当 x 0 时 ,当 x 0 时 ,故,类似地 ,可求得 Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii) 并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii) 备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,顺序统计量,Thm 设 相互独立同分布，且分布函数均为 将 按由小到大的次序排列为,对任意 设 则,Sketch 留意到 表示 中至少有 个小于等于 即 等于 中 恰好有 个， 个 个小于等于 这 个事件的并.,数学期望的进一步性质,Example,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,性质4得证.,数学期望的进一步性质,（2）若 相互独立，则,例9 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,k=1,2, ,n