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第五章 统计决策中的 参数与非参数估计,主要内容,参数估计与监督学习 参数估计理论 非参数估计理论,参数估计与监督学习,贝叶斯分类器中只要知道先验概率，条件概率或后验概 概率 P(i),P(x/i), P(i /x)就可以设计分类器了。现在 来研究如何用已知训练样本的信息去估计P(i),P(x/i), P(i /x) 一参数估计与非参数估计 参数估计：先假定研究的问题具有某种数学模型，如 正态分布，二项分布，再用已知类别的学习 样本估计里面的参数。 非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别的学习 样本的先验知识直接估计数学模型。,监督学习与无监督学习,监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练， 参数估计和非参数估计都属于监督学习。 无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。,5.2参数估计,5.2.1矩法估计（书上） 5.2.2最大似然估计（MLE） 假定： 待估参数是确定的未知量 按类别把样本分成M类X1，X2，X3， XM 其中第i类的样本共N个 Xi = (X1,X2, XN)T 并且是独立从总体中抽取的 Xi中的样本不包含 (ij)的信息，所以可以对每一 类样本独立进行处理。 第i类的待估参数 根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样 本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类 的学习样本来估计。,1.原理： 第i类样本的类条件概率密度： P(Xi/i)= P(Xi/ii) = P(Xi/i) 原属于i类的学习样本为Xi=(X1 , X2 ,XN,)T i=1,2,M 求i的最大似然估计就是把P(Xi/i)看成i的函数，求出使它最大时的i值。 学习样本独立从总体样本集中抽取的 N个学习样本出现概率的乘积 取对数 ：,对i求导,并令它为0： 有时上式是多解的, 上图有5个解,只有一个解最大即.,P(Xi/i),2. 多维正态分布情况 已知, 未知,估计 服从正态分布 所以在正态分布时,代入上式得,结论,所以 这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均。, ， 均未知 A. 一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单情况： (n=1)由上式得 即学习样本的算术平均 样本方差,讨论： 1.正态总体均值的最大似然估计即为学习样本的算术平均 2.正态总体方差的最大似然估计与样本的方差不同，当N较大的时候，二者的差别不大。 B多维情况：n个特征 估计值： 结论：的估计即为学习样本的算术平均 估计的协方差矩阵是矩阵 的算术 平均（nn阵列， nn个值）,5.3贝叶斯估计与学习,最大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量，而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察，使概率密度分布P(Xi/)转化为后验概率P(/Xi) ，再求贝叶斯估计。,估计步骤: 确定的先验分布P(),待估参数为随机变量。 用第i类样本xi=(x1, x2,. xN)T求出样本的联合概率密度分布P(xi|)，它是的函数。 利用贝叶斯公式,求的后验概率 ,例子,下面以正态分布的均值估计为例说明贝叶斯估计的过程 一维正态分布:已知2,估计 假设概率密度服从正态分布 P(X|)=N(,2), P()=N(0,02) 第i类学习样本xi=(x1, x2,. xN)T, i=1,2,M 第i类概率密度P(x|i,xi)=P(x|xi) 所以后验概率 (贝叶斯公式),因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成 其中 为比例因子,只与x有关,与无关 P(Xk| )=N(,2),P(u)=N(0,02) 其中a,a包含了所有与无关的因子,P(| xi)是u的二次函数的指数函数 P(| xi)仍然是一个正态函数, P(|Xi)=N(N,N2) 另外后验概率可以直接写成正态形式： 比较以上两个式子,对应的系数应该相等 ,解以上两式得 将N,N2代入P(|Xi)可以得到后验概率，再用公式,对的估计为 若令P()=N(0, 02 )=N(0,1) 与最大似然估计相似，只是分母不同,三贝叶斯学习 1.贝叶斯学习的概念：求出的后验概率之后，直接去推导总体分布即 当观察一个样本时，N=1就会有一个的估计值的修正值 当观察N=4时，对进行修正，向真正的靠近 当观察N=9时，对进行修正，向真正的靠的更近 当N,N就反映了观察到N个样本后对的最好推测，而N2反映了这种推测的不确定性, N, N2,N2 随观察样本增加而单调减小，且当N, N2 0 当N，P(|xi)越来越尖峰突起 N, P(|xi)函数，这个过程成为贝叶斯学习。,类概率密度的估计 在求出u的后验概率P(|xi)后，可以直接利用式 推断类条件概率密度。 即P(x|xi) P(x|i ，xi) 一维正态：已知2，未知 的后验概率为,结论,结论： 把第i类的先验概率P(i)与第i类概率密度P(x|xi)相乘可以 得到第i类的后验概率P(i/x) ，根据后验概率可以分类。 对于正态分布P(x|xi)，用样本估计出来的N代替原来的 用 代替原来的方差 即可。 把估计值N作为的实际值，那么使方差由原来的 变 为 ,使方差增大,5.4非参数估计,参数估计要求密度函数的形式已知，但这种假定有时并不成 立，常见的一些函数形式很难拟合实际的概率密度，经典的密 度函数都是单峰的，而在许多实际情况中却是多峰的，因此用 非参数估计。 非参数估计:直接用已知类别样本去估计总体密度分布，方法有： 用样本直接去估计类概率密度p(x/i)以此来设计分类器, 如窗口估计 用学习样本直接估计后验概率p(i/x)作为分类准则 来设计分类器如k近邻法.,密度估计:一个随机变量X落在区域R的概率为P P(X)为P(X)在R内的变化值,P(X)就是要求的总体概率密度,密度估计:,P(x),假设有N个样本X=(X1, X2, XN)T都是按照P(X)从总体中独立抽取的 若N个样本中有k个落入在R内的概率符合二项分布 其中P是样本X落入R内的概率 Pk是k个样本落入R内的概率 数学期望:E(k)=k=NP 对概率P的估计: 。 是P的一个比较好的估计 设P(x)在R内连续变化,当R逐渐减小的时候,小到使P(x)在其上 几乎没有变化时，则 其中 是R包围的体积, 条件密度的估计： (V足够小) 讨论: 当V固定的时候N增加, k也增加,当 时 只反映了P(x)的空间平均估计 而反映不出空间的变化 N固定,体积变小 当 时,k=0时 时 所以起伏比较大,噪声比较大,需要对V进行改进.,对体积V进行改进： 为了估计X点的密度,我们构造一串包括X的区域序列R1,R2, RN. 对R1采用一个样本进行估计，对R2采用二个样本进行估计。 设VN是RN的体积，KN是N个样本落入VN的样本数则 密度的第N次估计： VN是RN的体积 KN是N个样本落入VN的样本数 PN(x)是P(x)的第N次估计,收敛应满足三个条件,若PN(x)收敛于P(x)应满足三个条件： ，当N时，VN，N，VN0 这时虽然样本数多，但由于VN，落入VN内的样本KN 也减小，所以空间变化才反映出来 ，N ，kN ，N与KN同相变化 ，KN的变化远小于N的变化。 因此尽管在R内落入了很多的样本，但同总数N比较, 仍然是很小的一部分。,如何选择VN满足以上条件,如何选择VN满足以上条件： 使体积VN以N的某个函数减小，如 (h为常数) 使KN作为N的某个函数，例 VN的选择使RN正好包含KN个近邻 V1K1，V2K2，VRKR Kn近邻法,窗口法,Parzen窗口估计 假设RN为一个d维的超立方体，hN为超立方体的长度 超立方体体积为： ， d=1，窗口为一线段 d=2，窗口为一平面 d=3，窗口为一立方体 d3，窗口为一超立方体 窗口的选择：,方窗函数,指数窗函数,正态窗函数,(u),(u),(u),hN,正态窗函数, (u) 是以原点x为中心的超立方体。 在xi落入方窗时，则有 在VN内为1 不在VN内为0 落入VN的样本数为所有为1者之和 密度估计,讨论,讨论： 每个样本对估计所起的作用依赖于它到x的距离，即 | x-xi|hN/2时， xi在VN内为1，否则为0。 称为 的窗函数，取0，1两种值，但有 时可以取0, 0.1, 0.2多种数值，例如随xi离x接近的程度， 取值由0, 0.1, 0.2到1。, 要求估计的PN(x)应满足： 为满足这两个条件，要求窗函数满足： 窗长度hN对PN(x)的影响 若hN太大, PN(x)是P(x)的一个平坦, 分辨率低的估计, 有平均误差 若hN太小, PN(x)是P(x)的一个不稳定的起伏大的估计,有噪声误差 为了使这些误差不严重， hN应很好选择,例1：对于一个二类（ 1 ，2 ）识别问题，随机抽取1类的6个样本X=(x1，x2，. x6) 1=(x1，x2，. x6) =(x1=3.2，x2=3.6，x3=3，x4=6，x5=2.5，x6=1.1) 估计P(x|1)即PN(x) 解：选正态窗函数,0,1,2,3,4,5,6,x6,x5,x3,x1,x2,x4,x,x是一维的 上式用图形表示是6个分别以3.2，3.6，3，6，2.5，1.1为中 心的丘形曲线(正态曲线)，而PN(x)则是这些曲线之和。,结果图,由图看出，每个样本对估计的贡献与样本间 的距离有关，样本越多， PN(x)越准确。,例2：设待估计的P(x)是个均值为0，方差为1的正态密度 函数。若随机地抽取X样本中的1个、 16个、 256个作为 学习样本xi,试用窗口法估计PN(x)。 解：设窗口函数为正态的， 1，0 hN:窗长度，N为样本数，h1为选定可调节的参数。,讨论：由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 当N1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正态形状的小丘，与窗函数差不多。 当N16及N=256时 h10.25 曲线起伏很大，噪声大 h11 起伏减小 h14 曲线平坦，平均误差 当N时， PN(x)收敛于一平滑的正态曲线， 估计曲线较好。,例3。待估的密度函数为二项分布 解：此为多峰情况的估计 设窗函数为正态 解：此为多峰情况的估计 设窗函数为正态,x,-2.5,-2,1,0.25,0,2,P(x),-0.25x-2,0x2,x为其它,当N=1、16、256、 时的PN(x)估计如图所示 当N1时， PN(x) 实际是窗函数。 当N16及N=256时 h10.25 曲线起伏大 h11 曲线起伏减小 h14 曲线平坦 当N时，曲线较好。,结论,由上例知窗口法的优点是应用的普遍性。对规则分布，非规则分布，单锋或多峰分布都可用此法进行密度估计。 要求样本足够多，才能有较好的估计。因此使计算量，存储量增大。,KN近邻估计：在窗口法中存在一个问题是对hN的选择问题。 若hN选太小，则大部分体积将是空的（即不包含样本），从而 使PN(x)估计不稳定。若hN选太大，则PN(x)估计较平坦，反映不 出总体分布的变化，而KN近邻法的思想是以x为中心建立区域， 使v，直到捕捉到KN个样本为止。 称KN-近邻估计 v的改进，样本密度大，VN ; 样本密度小，VN ; P(x)的估计为：,使PN(x)收敛于P(x)的充分必要条件： ，N与KN同相变化 ，KN的变化远小于N的变化 ,V1为N=1时的VN值,KN近邻估计对KN和VN都作了限制 KN近邻法作后验概率的估计由KN近邻估计知N个已知类别样本落入VN内为KN个样本的概率密度估计为： N个样本落入VN内有KN个，KN个样本内有Ki个样本属于i类 则联合概率密度：,根据Bayes公式可求出后验概率