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第十三章 动能定理,力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率功率方程机械效率,前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功与动能。,引言,13.1.1 常力的功,设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力所作的功W定义为,功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J1 Nm。,13.1力的功,13.1.2 变力的功,设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有,13.1 力的功,M,M1,M2,q,ds,M,dr,F,力在全路程上作的功等于元功之和,上式称为自然法表示的功的计算公式。,称为矢径法表示的功的计算公式。,在直角坐标系中,13.1 力的功,上两式可写成矢量点乘积形式,上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。,1) 重力的功,设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2。建立如图坐标，则,代入功的解析表达式得,13.1.3 常见力的功,13.1 力的功,M1,M2,M,mg,z1,z2,O,x,y,z,对于质点系，其重力所作的功为,由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。,常见力的功,2) 弹力的功,物体受到弹性力的作用, 作用点的轨迹为图示曲线A1A2, 在弹簧的弹性极限内, 弹性力的大小与其变形量d 成正比。设弹簧原长为l0 , 则弹性力为,A1,A2,r2,r1,d1,d2,l0,O,r0,r,A,d,F,A0,dr,常见力的功,于是,或,因为,弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。,常见力的功,3) 定轴转动刚体上作用力的功,设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb，,常见力的功,当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为,R为力作用点A到轴的垂距。力F的元功为,力F在刚体从角j1转到j2所作的功为,Mz可视为作用在刚体上的力偶,例1 如图所示滑块重P9.8 N，弹簧刚度系数k0.5 N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N，滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。,分析：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。先计算T 的功：,解：在运动过程中，T 的大小不变，但方向在变，因此T 的元功为,因此T在整个过程中所作的功为,再计算F的功：,由题意：,因此F在整个过程中所作的功为,因此所有力的功为,1. 质点的动能,设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为,动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。,2. 质点系的动能,质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即,13.2 质点和质点系的动能,刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。,(1) 平动刚体的动能,13.2 质点和质点系的动能,(2) 定轴转动刚体的动能,(3) 平面运动刚体的动能,因为JPJC + md 2,所以,因为dwvC ,于是得,平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。,13.2 质点和质点系的动能,动能的瞬时性,牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:,均质圆环在地面上作纯滚动时的动能?见 P292。,解：,I,例2 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。,I 为AB杆的瞬心,运动分析,系统分析,例3 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度w 绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。,杆OA的动能是,解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是,微段的质量,微段的动能,运动分析,系统分析,例4 求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为w，j = 60。,解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:,运动分析,系统分析,对于曲柄OC：,规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：,系统的总动能为：,例5 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w 绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。,解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为,速度合成矢量图如图。由余弦定理,则杆的动能,j,B,A,l,运动分析,系统分析,1. 质点的动能定理,取质点运动微分方程的矢量形式,在方程两边点乘dr，得,因drv dt，于是上式可写成,或,13.3 动能定理,质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。,积分上式，得,或,在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。,13.3 动能定理,2. 质点系的动能定理,设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有,式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得,13.3 动能定理,于是得,质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。,对上式积分，得,质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。,13.3 动能定理,13.3 动能定理,3. 理想约束及内力作功,对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。 光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。 滑动摩擦力作负功。 当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。 变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功；刚体所有内力作功的和等于零。,例6 一长为l，质量密度为的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。,解得,解:链条在初始及终了两状态的动能分别为,在运动过程中所有的力所作的功为,由,例7 已知： m ，R, f ， 。求纯滚动时盘心的加速度。,解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移 s时速度达到vc。,力的功：,由动能定理得：,解得：,例8 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S 时的速度。,解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为,系统在初始及终了两状态的动能分别为,a,FS,O,C,其中,于是,由,得,解之得,例9 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。,解：分析系统，初瞬时的动能为,设连杆OA运动到水平位置时的角速度为w，由于OAAB，所以杆AB的角速度也为w，且此时B端为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零，vB=0。系统此时的动能为,系统受力如图所示，在运动过程中所有的力所作的功为,解得,例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。求轴的角加速度。,解：取系统为研究对象,由运动学可知：,主动力的功：,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,解得：,例11 两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链B连接在一起，而杆BC则用铰链C连接在C点上，每根杆重P10 N，长l1 m，一弹簧常数k120 N/m的弹簧连接在两杆的中心，如图所示。假设两杆与光滑地面的夹角q 60时弹簧不伸长，一力F10 N作用在AB的A点，该系统由静止释放，试求q 0时AB杆的角速度。,A,q,C,B,O,D,解：AB杆作平面运动，BC杆作定轴转动，找出AB杆的速度瞬心在O点，由几何关系知OBBCl，因此由,得,同时还可以得出结论，当0时O点与A点重合，即此时A为AB杆的速度瞬心，所以,主动力做功,重力做功,弹簧力做功,外力所做总功,由动能定理的积分形式得：,因为系统属理想约束，所以约束反力不做功，做功的力有主动力F，重力P和弹簧力，分别求得如下：,解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为,例12 如图，重物A和B通过动滑轮D和定滑轮而运动。如果重物A开始时向下的速度为v0，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为M，且为均质圆盘。重物B与水平面间的动摩擦系数为f ，绳索不能伸长，其质量忽略不计。,系统受力如图所示，设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。在此过程中，所有的力所作的功为,解得,速度增大一倍时的动能为,例13 图示机构，均质杆质量为m10 kg，长度为l60 cm，两端与不计重量的滑块铰接，滑块可在光滑槽内滑动，弹簧的弹性系数为k360 N/m。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为20 cm。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置时的角速度。,解：以系统为研究对象，则运动初瞬时的动能为,当杆运动到铅垂位置时，其速度瞬心为杆端B，设此时杆的角速度为w，则系统的动能为,B,A,C,mg,30 cm,在系统运动过程中，只有重力和弹力作功，所以在系统运动过程中所有的力所作的功为,所以,B,A,C,mg,30 cm,前面分别介绍了动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理和动能定理) ，它们从不同角度研究了质点或质点系的运动量(动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、力矩、功等)的关系。但每一定理又只反映了这种关系的一个方面，即每一定理只能求解质点系动力学某一方面的问题。 动量定理和动量矩定理是矢量形式，因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，应用时只需考虑质点系所受的外力；动能定理是标量形式，在很多问题中约束反力不作功，因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。但应注意，在有些情况下质点系的内力也要作功，应用时要具体分析。,13.6 普遍定理综合应用,动力学普遍定理综合应用有两方面含义：其一，对一个问题可用不同的定理求解；其二，对一个问题需用几个定理才能求解。 下面就只用一个定理就能求解的题目，如何选择定理，说明如下： (1 )与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理。 (2 )已知主动力求质点系的运动用动能定理，已知质点系的运动求约束反力用动量定理或质心运动定理或动量矩定理。已知外力求质点系质心运动用质心运动定理。,13.6 普遍定理综合应用,(3) 如果问题是要求速度或角速度，则要视已知条件而定。若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上的投影为零，则可用动量守恒定律求解。若质点系所受外力对某固定轴的矩的代数和为零，则可用对该轴动量矩守恒定律求解。若质点系仅受有势力的作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解。若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解。 (4) 如果问题是要求加速度或角加速度，可用动能定理求出速度(或角速度) ，然后再对时间求导，求出加速度(或角加速度) 。也可用功率方程、动量定理或动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的未知力在方程中不出现，给问题的求解带来很大的方便。,13.6 普遍定理综合应用,(5) 对于定轴转动问题，可用定轴转动的微分方程求解。对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。 有时一个问题，几个定理都可以求解，此时可选择最合适的定理，用最简单的方法求解。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可以根据各定理的特点联合应用。下面举例说明。,13.6 普遍定理综合应用,例14 如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力。,解：本题已知主动力求运动和约束反力。,杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为,在此过程中所有的力所作的功为,解法1：用动能定理求运动 以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止开始运动，故开始的动能为零，即,将前式两边对时间求导，得,解法2：用微分方程求运动,C,O,由定轴转动微分方程,即,所以,得,即,又,所以,j,C,O,现在求约束反力。,质心加速度有切向和法向分量：,将其向直角坐标轴上投影得：,C,O,x,y,FOy,FOx,由质心运动定理,得：,解得：,例15 物块A和B的质量分别为m1、m2，且 m1m2 ，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。,解一：取单个物体为研究对象。,分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得,由以上方程联立求解得：,注意到,解二：用动能定理和质心运动定理。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为,所有力的元功的代数和为,于是可得,由微分形式的动能定理得,由质心坐标公式,于是可得,解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为,然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。,例16 如图所示，均质圆盘可绕O轴在铅垂面内转动，圆盘的质量为m，半径为R。在圆盘的质心C上连结一刚性系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在A点，CA2R为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩M的作用下，由最低位置无初速地绕O轴向上转。试求圆盘到达最高位置时，轴承O的约束反力。,解：以圆盘为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,C,A,O,45,解得,y,C,A,x,O,45,再由定轴转动微分方程得,解得,代入加速度解得,y,C,A,x,O,45,y,x,aCx,aCy,由质心运动微分方程得,例17 均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为q )时的角速度为,此时杆的动能为,初动能为零，此过程只有重力作功，由,当q0时解出,A,C,q,杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得,杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为,沿铅垂方向投影，得,联立求解方程(1)(3)，得,例18 图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q，求三棱柱体的加速度。,q,A,C,B,O,D,解：整体系统在水平方向上受力为零，所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度是v，圆柱体的角速度是w。求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度， 该速度可用两种方法求得：,基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基点，分析圆柱体中心O点的速度，如图(b)所示,复合运动法：取圆柱体中心O为动点，动系与三棱柱固连，则O点的速度分析如图(a)所示,(a),x,y,O,D,由动量守恒定理:,两边对时间t求导得,欲求a需先求出a，取圆柱体分析如图(c)所示，由平面运动微分方程得,从中解出,求出系统动量的水平分量：,x,y,代入(*)式得,13-4 功率功率方程机械效率,1. 功 率,力的功率力所作之功对时间的变化率,力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。,作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩与