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课程概况,线 性 系 统 理 论,教 学 安 排 及 要 求,主 要 教 学 内 容, 绪 论,本课程的性质和作用,第一章 线性连续系统的状态空间描述 1-1 系统的状态空间描述 1-2 由系统模拟图求状态空间方程 1-3 化输入输出描述为状态变量描述 1-4 传递函数矩阵 1-5 组合系统的状态空间描述,第二章 线性连续系统的运动分析 2-1 线性系统的运动分析 2-2 eAt的计算方法 2-3 Jordan规范形 2-4 模式激励与抑制 2-5 线性时变系统的运动分析,第三章 线性离散系统 3-1 离散系统概述 3-2 线性连续系统的时间离散化 3-3 离散系统的时域解,第五章 线性系统的能控性和能观测性 5-1 引言 5-2 能控性 5-3 能控标准形(规范形、典范形) 5-4 能观测性 5-5 能观测标准形(规范形) 5-6 能控与能观测典范分解,第四章 线性系统的稳定性 41 向量和距阵的范数 42 平衡状态和稳定性 43 渐近稳定(AS)及其判据 4-4 lyapunov意义下的稳定 4-5 有界输入有界输出(BIBO)稳定 4-6 有界输入有界状态(BIBS)稳定 4-7 Lyapunov函数法,第六章 线性系统时间域综合问题 6-1 状态反馈和输出反馈 6-2 特征值（极点）配置 6-3 镇定问题 6-4 状态观测器 6-5 离散系统的极点配置和状态观测器,第七章* 传递函数距阵的状态空间实现 7-1 实现的基本概念 7-7 传递函数的最小实现 7-3 SIMO系统传递函数距阵的最小实现 7-4 MISO系统传递函数距阵的最小实现 7-5 *传递函数距阵的Jordan最小实现,参考教材：,1线性系统理论(第二版) 郑大钟，清华大学出版社，2002.10,2线性系统理论和设计 仝茂达，中国科技大学出版社，1998.8,3自动控制原理 吴麒，清华大学出版社,LTIlinear time invariant: 线性时不变（状态空间）系统,系统分类,满足叠加原理,L数学描述 u1, u2任意两个输入变量 c1, c2任意两个有限常数,线性系统,研究对象,基本特征,课程的主要任务,研究线性的状态和运动规律 系统分析系统运动规律 综合问题改变运动规律的可能性和方法 理论分支：状态空间法、多变量输入 几何空间、代数空间,二十世纪50年代中期，经典线性系统理论发展成熟和完备，并在不少工程技术领域得到了成功的应用。 在50年代后期蓬勃兴起的航天技术的推动下，线性系统理论开始了从经典阶段到现代阶段的过度。其重要标志有： 引入了状态空间法（卡尔曼），提出了能控性和能观测性的概念（卡尔曼），由“外部研究”深入到“内部研究”； 发展了多变量频域理论，利用计算机进行辅助设计与分析，等。,发展过程,第一章 线性连续系统的 状态空间描述,1-1 系统的状态空间描述,建立图示电路的数学模型。,建模实例,状态空间的描述方程,在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。 故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记,状态方程,输出方程,状态,f()、g()向量函数,定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。,内部变量,对于线性系统，f()、g()具有线性关系。, Rnn (系统矩阵), Rnp (输入矩阵),线性系统的状态空间描述, 对于线性定常系统， A、B、C、D为常数阵。 故, Rqn (输出矩阵), Rqp (输入输出联系的系数阵), 常简写：,常用系统 ： (A, B, C) , (A, B, C, D), A, B, C,例：,原系统： ，不稳定。,后接补偿器：,总传递函数：,该系统的模拟图：,情况1：,系统响应：,从输出 y 看，是稳定的，但x1、 x2是不稳定的。,情况2：,x1、 x2是不稳定的，从输出y看，也是不稳定的。 由上例可见：状态空间法对系统特征的描述要比微分方程更深入。,1-2 由系统模拟图求状态空间方程,模拟元件：, 将积分器的输出作为状态变量；, 将输出用状态变量表示； 根据加法器的关系写出系统方程。,步骤：,1-3 化输入输出描述为状态变量描述,实现问题,考虑单输入单输出系统（SISO系统）,返回,引入微分算子符号：,对应的系统传函：,方法1. 辅助变量法,A B,C D=0, 以上称为可控规范形实现。,例：给定系统的输入输出描述为：,利用可控标准形即可定出相应的一个状态空间的描述为：,方法2： 套叠法,将方程：,写成：,取状态变量 x1=y , 得：, 这种实现称kalman第二形式。,以上称为可观测规范形实现。,常取状态变量xn=y,可观测规范形实现的推导,设单输入单输出线性定常系统的微分方程具有下列的一般形式：,对上式两边同时求n次不定积分，并整理得,同理可得,依此类推,由此规则即可写出可观测规范形的向量矩阵形式，得,1）bn=0时，由上式，有,综合以上推导，得, 系统模拟结构图为:,2）bn 0时，由, 写成向量矩阵形式，得,有,例：系统微分方程为,可观测规范形：,考察系统的状态方程和输出方程。,解：,可控规范形：, 对偶关系：,可控标准形：,kalman第二形式：,可观测标准形：,讨论： 1） 以上两种实现模拟图中的增益（状态变量方程中的系数）就是微分方程的系数； 2）考虑初始条件均为零； 3）也适用于线性时变系统； 4）根据叠加原理可直接给出这两种实现。,kalman：,(以三阶系统为例) 特殊情况：不含u的各阶导数。,考虑一般情况：含u的各阶导数。,先考虑相关系统：,根据叠加原理，,f(t) F(s),y(s) = G(s)u(s) su(s)G(s) = sy(s),于是，由,因此，若 v = b0u , 则 y = b0z,及初始条件均为零，,kalman：,(仍以上三阶系统为例),方法3：部分分式法,（并联法）,1）将G(s)分解因式； 2）将每个因式用基本模块表示；,3）并联各个模块成系统。 两种基本模块：,考虑G(s)的几种情况： 1）当G(s)无重极点时, 若-pi均为实极点，只需用模块(a),若-pi中有共轭复数极点时，,或将ci放在输入端(在u后面),为对角线规范形，状态完全解耦。,可利用模块(b)，使增益系数均为实数。 例如，-p1与-p2为共轭复数极点，则, 2）当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点,例：,例：,例：某系统的状态空间表达式为, 在这个七阶系统中，传递函数有： 两个单极点-p1、-p2; 一个二重单极点-p3、-p3; 一个三重单极点-p5、 -p5、 -p5 .,方法4：单归法,（级联法）,设极点-pj、零点-zi为相异实数，, 故对于所给传递函数，有：, 故可得:,1-4 传递函数矩阵,设输入u(t)=u1(t)，up(t)T 其Laplace变换为：,输出 y(t)=y1(t), , yq(t)T 其Laplace变换为：,其中,为传递函数矩阵。,由叠加定理可得：,由状态空间描述：,多项式矩阵（sIA）显然是非奇异，故有,(6)代入（4），可得：,可知： G(s)=C(sIA)-1B+D, G(s) 的一个计算公式：,为（严格）实有理分式时，称G(s)为（严格）实有理分式矩阵,当D 0时，G(s)为严格真的。 这是显然的。因：,adj(SIA)的每个元素多项式的最高幂次均小于det(sIA)的幂次。 所以，必有,传函矩阵 G(s)=C(sIA)-1B+D (1) 给定 A,B,C,D，若求出：,和,则,证：(1) (sIA) -1 的一个关系式：,只需定出R0，R1，Rn-1 。 (5)式两边右乘,又由（2）式：,于是，得递推计算式：,在(8)式，依次将上一个方程带入下一个方程，可得：,(9)带入(5)，再带入(1)：,记 En-1=CRn-1B , En-2=CRn-2B , , E1=CR1B , E0=CR0B . 即可得出(4)式。,证：(2),的递推函数计算式。（Levervier递推法）,设n阶方阵A=（aij）, A的主对角线元素之和成为A的迹，记做trA，,例:,计算(s)：,计算系数阵：, 则 :,传递函数矩阵的实现(一种简捷方法 ),由于多输入多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较复杂，因此，我们仅以单输入多输出或多输入单输出系统的情况举例说明。(公式推导详见仝茂达教材p183),1单输入多输出系统的实现,例1 试求下列单输入双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。,解：将G(s)化为严格有理真分式：,各元素的最小公分母D(s)为：, 则可控标准形状态方程为：,2多输入单输出系统的实现,相对来说，多输入单输出系统的实现比单输入多输出系统的实现方法较难掌握，,由于多输入单输出系统与单输入多输出系统的维数不同，故其可控标准形实现与可观标准形实现不存在对偶关系； 但是它们在实现的方法上具有类似的对偶关系。 换句话说，假如单输入m输出系统的传递函数矩阵为G(s)，相应的实现为（A,B,C,D）； 若另一m输入单输出系统的传递函数矩阵为,应用这一特点，不仅可大大降低学习的难度，而且掌握一种方法就可以解决两种类型的问题，更不会出现混淆现象。,（ GT(s)代表G(s)的转置）,则有：,其相应的实现为,例2 线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。,解：1）先求对应的单输入双输出系统的实现,2）再转换为双输入单输出系统的实现,故原系统的实现为,方法的验证,对比原题所给传递函数，可见结果一致。,1-5 组合系统的状态空间描述,由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成的系统称为组合系统。,1子系统的并联,考虑由两个子系统,经并联构成的组合系统,，如图所示:,不难看出，两个子系统可进行并联的条件为：,在实现了并联后系统在变量上的特点为：,于是，对并联组合系统，,即得到并联组合系统,的状态空间描述为：,由N个子系统并联构成的组合系统，可导出p的状态空间描述的一般表达式为：,表示子系统的传递函数矩阵为：,就可导出并联组合系统的传递函数矩阵为：,2子系统的串联,由两个子系统1和2经串联构成的组合系统如图：,串联连接的条件为：,可导出串联组合系统的状态空间描述为：,将其写成为标准化的形式为：,3子系统的反馈联接,由N个子系统顺序串联构成的状态空间描述，其形式将相当复杂。,可导出串联组合系统的传递函数矩阵为：,其中，子系统的传递函数矩阵Gi(s)仍由下式给出：,两个子系统1和2，按下图所示方式构成反馈系统，其中子系统的状态空间描述中