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大学数学应用基础,实用高等数学,第四节 常用经济函数及其经济分析中的导数,一.成本函数与收入函数,二.边际成本、边际收入、边际利润,首页,上页,下页,生产某种产品的数量为q时的总成本（所需的全部费用）,首页,上页,下页,在企业的经营活动中，经营者的经营效益取决于该 企业的成本支出、收入以及二者关于产量的变化率诸因 素本讲主要研究导数在成本函数和收入函数中的应用,1）定义域：一切非负实数,2）总成本分：固定成本（如厂房、设备、保险费、 管理人员工资、广告费等） 可变成本（原材料费、能源消耗费、 工人工资、包装费等）.,3)成本函数是单调增加函数，因为生产的产品 更新换代越多，成本越高.,1.成本函数 ：,一、成本函数与收入函数,首页,上页,下页,4) 图像特点：,a图像构成:有时 图像由彼此孤立的点组成； （如图3-11）,因为产量q只能是整数，如汽车或电视 机等。,而有时 的图像可能是一条连续曲线（如图3-12）因为产量q可以连续变化，如糖、煤、水、电等.,b图像升降特点:总成本函数的图像叫总成本曲线,它 从左往右是上升的,与C轴的交点的纵坐标(纵截距)为 (固定成本),首页,上页,下页,企业售出某种产品的数量为q时所获得的全部收入,2.收入函数 ：,1） 为单调增加函数因售出量q越多，收入 越大。,2) 如果价格 是常数，那么收入=价格数量， 即： 。,3)图像特点：通过原点的直线，如图3-13但在现实经济 生活中，实际上，当产量q的值增大时，产品可能充斥市 场，从而造成价格下落，R的图像如图3-14,首页,上页,下页,生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就叫做它的总利润,记作L，利润=收入-成本，即L=R-C,3.利润函数 ：,首页,上页,下页,二、边际成本、边际收入、边际利润函数,案例：哪家公司更精明：从长沙开往邵阳的长途车即将 出发无论哪个公司的车，票价均为75元个匆匆赶 来的乘客见一家国有公司的车上尚有空位,要求以50元上 车,被拒绝了.他又找到一家也有空位的私人公司的车,售 票员二话没说,收了50元允许他上车了.哪家公司的行为更 理性呢?,分析：私人公司允许这名乘客用50元享受75元的运输服 务，当然亏了，但如果用边际分析法分析，私人公司的确 比国有公司精明。 “边际”这个词可以理解为“增加的”的意 思，“边际量”也就是“增量”的意思。说得确切一些，自变量 的增量为1个单位时，因变量的增量就是边际量例如,生 产要素(自变量)增加1个单位,产量(因变量)的增量为2个单 位,首页,上页,下页,因变量改变的这2个单位就是边际产量.边际分析法就是分析自变量变动1个单位时,因变量会变动多少的方法.,在本案例中,当我们考虑是否让这名乘客以50元的票价 上车时,实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收入这 两个概念.边际成本是增加1名乘客(自变量)所增加的成本. 在本案例中,增加这1名乘客,所需磨损的汽车、汽油费、工 作人员工资和过路费等无需增加，对汽车来说多拉1个人 少拉1个人都一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客的 食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就是10元 边际收入是增加1名乘客（自变量）所增加的收入在这个 案例中，增加这一名乘客增加收入50元,边际收入就是50元. 因为边际收入大于边际成本,所以让这名乘客上车是合算的.,首页,上页,下页,归纳:,边际是指自变量增加1个单位时,因变量的增量 (即边际量).,边际分析法就是分析自变量变动1个单位时,因变量 会变动多少的方法.用数学方法描述如下:,设函数 可导.根据导数和微分的定义,有,因此，当 很小时，有 。于是,特别地，,当 时，有 。,这就是说，当自变量增加1个单位时,函数的增量近似地 等于其导数值.因此,通常我们把函数 的导数 称为边际函数.,首页,上页,下页,例如，函数 ，在点 处的边际函数值为 ，,它表示当 时， 改变个单位， 改变12个单位,1.边际成本,总成本函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量 为 单位时的边际成本,经济意义：边际成本 表示当产量为 时，再生产 个单位产品时总成本将改变 个单位,.边际需求,需求函数 （ 为价格）的导数 ，称为价格 为 单位时的边际需求,首页,上页,下页,经济意义：边际需求 表示当价格为 时，价 格再上涨个单位，需求量将改变个 单位,边际收入（收益）,总收入函数 （ 为产量）的导数 ， 称为产量为 单位时的边际收入,经济意义：边际收入 表示当销售量为 时， 再多销售个单位产品时总收入将改变个 单位,边际利润,总利润函数 （ 为产量）的导数 ， 称为产量为 单位时的边际利润,由于总利润为总收入与总成本之差，即有,首页,上页,下页,上式两边求导，得,即边际利润等于边际收入与边际成本之差,经济意义：边际利润 表示当产量为 时， 再生产个单位产品时总利润将改变个 单位,首页,上页,下页,最大利润,问题：已知总收入函数 及总成本 函数 ，如何求出最大利润？,对利润函数 在给定的区间上求最值而 最大（或最小）利润有可能在区间端点和区间内部取 得但是，若事先能断言最大（或最小）利润只能在 区间内部取得，且利润函数L在区间内部只有唯一的 驻点，则可断言，最大（或最小）利润在该点取得,这表明在生产1千升基础上再多生产1升，需成本1元；在生产4千升基础上再多生产1升，仅需成本075元，这表明：产量越高，成本越低,首页,上页,下页,【例1】某商品产量为 （千升）时的成本函数为 （千元），其中 ， 求 时的边际成本，并给以适当的经济解释,解： 边际成本函数,首页,上页,下页,例2 某企业生产一种产品，每天的总利润 （元） 与产量 （吨）之间的函数关系为 ， 求 时的边际利润，并给以适当的经济解释,解 边际利润函数,当 时， （元）；它表明在每天生产 25吨的基础上，再多生产1吨，总利润没有变化， 这1吨产量并没有产生利润,当 时， （元）；它表明在每天生产 30吨的基础上，再多生产1吨，总利润将要减少50元,从本题可以看出：并非生产的产品数量越多， 利润就越高,首页,上页,下页,【例3】设总收入和总成本(以元为单位)分别由下列两式给出： 其中 求获得最大利润时 的数量，怎样的生产水平将获得最小利润？,所以 时有最大利润， 时有最小利润,解: 因为总利润 ，所以,即:,所以,令,，得,因为,首页,上页,下页,课外作业：P89 习题3-4 1、3题, P89 习题3-4 2题,课堂练习 ：,.某产品总成本 （元）为产量 （个）的函数 求生产100个产品时的平均单位 成本及边际成本(10,2