微分方程的多解与变号解

微分方程的多解与变号解【摘要】：偏微分方程解的存在性与多重性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对偏微分方程进行了研究,例如利用变分方法和临界点理论研究了各种Schrodinger方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文利用变分方法、Morse理论、临界点理论、拓扑度理论研究了几类偏微分方程的解与变号解.本文分为五章.第一章,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.第二章中,我们对经典椭圆方程Dirichlet边值问题进行了研究,其中Q(?)RN是具有光滑边界的有界区域,fC1(R1,R1)满足次临界增长条件|ft(x,t)|C(1+|t|p-2),(x,t)R1,其中C0是一正常数,p(2,2),如果N3,则2*=2N/(N-2)；如果N-1,2,则2*-.我们把拓扑度、临界群、不动点指数结合起来,得到它们之间的一些转化关系,给出一些假设条件,使得非线性项f在0点和共振和跨特征值.我们解决了仅仅使用不动点指数和拓扑度理论不能研究共振情形的问题,如文献1(J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我们考虑在0点和都共振的情形,这是一般文章都没有考虑的情形.而且我们的共振条件去掉了2(Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性条件.我们还研究了单边共振的情形,这种共振条件又比我们常见的要弱,它去掉了极限存在的要求和增长性条件.我们得到的结论是：f在0点共振或跨特征值,在点共振或单边共振或跨特征值,那么上述边值问题都有七个非平凡解,其中两个正解、两个负解、三个变号解.在维数N=1时,我们可以进一步计算第七个解的临界群,从而得到第八个解,这个解是变号解,所以在维数为一的情形下,我们得到两个正解、两个负解、四个变号解.在维数N=1,方程是四阶时,就化为1中所研究的问题.我们不仅给出了零点和无穷远点共振的情形,而且当0点共振到奇特征值或跨奇特征值时,还可以通过计算临界群,得到七个非平凡解,其中三个变号解,这种情形利用1中的方法,不能考虑.而在0点和都共振到偶特征值时,得到六个非平凡解,这样的共振情形也是1中的方法所不能研究的.1中只能考虑在零点和无穷远点都是跨偶数个特征值的情形.从而我们推广了1的结论,而且得到比1中更好的结果.我们假设以下条件：(f1)f(x,t)t0,(x,t)R1；(f2)存在n02满足。0n0+1,使得ft(x,0)=n0+1,x.且存在0,使得f(x,t)tn0+1t2,(x,t)-,；(f3)存在b0,使得|f(x,t)|b,(x,t)-bc,bc,其中c=maxxe(x),且e是边值问题：的解；(f4)存在满足n1-1n1的正整数n11及C10,(0,1),使得(?)f(x,t)/t=n1,对x一致成立,|f(x,t)-n1t|C1(1+|t|),(x,t)R1,且(?)1/|t|2(F(x,t)-1/2n1t2)=(-1)n1+1对x一致成立,其中F(x,t)=0tf(x,s)ds,(x,t)R1；(f5)存在n1,R0,使得21-1+f(x,t)/t2n1,x,|t|R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2n1t2)=-对x一致成立；(f6)存在n1,R0,使得2n1f(x,t)/t2n1+1-,x,|t|R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2n1t2)=+对x一致成立；(f7)存在n02,使得n0n0+1且n0ft(x,0)n0+1对x一致成立；(f8)存在满足A2n1入2n1+1的n11,使得(x)=(?)f(x,t)/t存在且2n1(x)2n1+1对x一致成立.定理2.1.1.设条件(f1)-(f3)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成立,则边值问题(2.1.1)至少有七个非平凡解,其中两个正解,两个负解,三个变号解.定理2.1.2.设条件(f1),(f3)及(f7)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成立,则边值问题(2.1.1)至少有七个非平凡解,其中两个正解,两个负解,三个变号解.在第三章中,我们考虑了RN上半线性椭圆方程-u+u=f(x,x),uH1(RN)的解.在一些假设条件下,我们利用下降流线给出无穷多变号解的存在性.文献3(Adv.Math.222(2009)2173-2195)中研究的是有界区域上的半线性椭圆方程的无穷多变号解,这里我们改进到无界区域.同时,我们也改进了文献4(Comm.Math.Phys.55(1997)149-162)中只得到无穷多解,而没有确定出它们的符号的结论.本章中,我们给出以下条件：(A1)存在p(2,2*)及c0,使得|f(x,t)|c(|t|+|t|p-1),(x,t)RNR1；(A2)存在2,R0,使得F(x,t)t,(x,t),(x,t)RNR1,(?)F(x,t)0,其中F(x,t)=0t(x,s)ds,(x,t)RNR1；(A3)limt0f(x,t)/t=0在RN上一致成立；(A4)f(gx,t)=f(x,t),9O(N),(x,t)RNR1；(A5)f(x,-t)=-f(x,t),tf(x,t)0,(x,t)RNR1.那么我们有如下结果：定理3.1.1.假设(A1)-(A5)成立,则方程(3.1.1)有无穷多变号解.第四章中,我们研究Schrodinger-Poisson系统正径向解的存在性,其中fC(R1,R1).我们假设f满足limt+f(t)/tp+,利用变分方法,当和p在不同范围时,给出一些解的存在性与不存在性结果.我们把5(J.Funct.Anal.237(2006)655-674)中非线性项f(u)-up的结果推广到一般的非线性项.f,而且改进了文献6(Ann.I.Poincare-AN,27(2010)779-791)中只对很小的参数得到一个正径向解的结论.事实上,我们假设以下条件：(H1)存在p(1,5),使得limsuPt+f(t)/tp+；(H2)limt0f(t)/t=0；(H3)f(t)t4F(t),tR1；(H4)存在q(2,5),使得liminft+f(t)/tq0；(H5)limt+f(t)/t=+.其中F(t)=0tf(s)ds.那么我们有下列结论.定理4.1.1.如果条件(H1)中p(1,2),且(H2)及(H5)成立,则存在00,使得对所有的入(0,0),系统(4.1.1)至少有两个正径向解.定理4.1.2.如果条件(H1)中p(3,5),且(H2)-(H4)成立,则对所有的0,系统(4.1.1)至少有一个正径向解.定理4.1.3.如果条件(H1)中p2,3,且(H2)及(H5)成立,则存在A00,使得对所有(0,入0),系统(4.1.1)至少有一个正径向解.定理4.1.4.如果条件(H1)中p(1,2,且(H2)成立,则存在00,使得对所有A(0,),系统(4.1.1)没有正解.我们的主要结果可以用下图表示.第五章中,我们研究了广义Kadomtsev-Petviashvili方程wt+wxxx+(f(w)x=Dx1-wyy的基态孤立波,其中我们在一些假设条件下,利用变分方法给出非平凡基态孤立波的存在性.我们去掉了7(Appl.Math.Lett.15(2002)35-39)和8(MinimaxTheorems,1996)中的条件：存在0Y:=gx:gC0(R2),使得lims+F(s0)/s2+.这是研究广义Kadomtsev-Petviashvili方程经常会假设的条件.并且在本章中,相应的泛函不满足(PS)条件和(c)条件.我们假设(B1)fC(R1,R1),f(0)=0,且对某一p(3,6),(B2)limt0,f(t)/t=0;(B3)存在1,使得G(t)G(st),tR1,s0,1,其中G(t)=f(t)t-2F(t).定理5.1.1.假设(B1)-(B3)成立,那么问题(5.1.1)有一基态孤立波.另外,我们还研究了变系数的广义Kadomtsev-Petviashvili方程的基态孤立波：(-uxx+Dx-2uyy+a(x,y)u-f(u)x=0,(5.4.1)其中(x,y)R2.我们假设aC(R2,R1)且存在正数,使得Oa(x,y).且a(x,y)满足以下条件：a(x,y)a=(?)a(x,y),(x,y)R2(a)这里我们同样也去掉了9(J.Math.Anal.Appl.361(2010)48-58)中研究变系数p-Laplace方程所作的周期性假设.从而推广了9中的方法.则我们有下列结论：定理5.4.1.假设对p(3,4,(B1)-(B3)成立,且条件(a)成立,那么问题(5.4.1)有一基态孤立波.【关键词】：临界群拓扑度变号解Schr(o|)dinger-Poisson系统广义Kadomtsev-Petviashvili方程基态孤立波【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O175.2【目录】：中文摘要6-11ABSTRACT11-17第一章引言17-27第二章半线性椭圆方程的多解与变号解27-512.1临界群、拓扑度以及不动点指数的转化27-402.2变号解和解的存在性与多重性40-462.3维数为一的情形46-51第三章RN上半线性椭圆方程的无穷多变号解51-633.1准备工作51-533.2一些必要的引理53-583.3无穷多变号解的存在性58-63第四章Schrodinger-Poisson系统的正解63-794.1主要结果63-644.2一些必要的引理64-754.3主要