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第十五章 正交曲面坐标系,数学物理方法,定解问题 分离变量法 直角坐标系：一维线性 矩形 长方体,圆柱 球形 正交曲面坐标系,15.1 正交曲面坐标系,直角坐标系下任意一点 (x, y, z),球坐标,柱坐标,定义,曲面坐标系 q1, q2, q3 与直角坐标系的关系为,雅可比行列式不为零,其坐标面为三组曲面：q1 = 常数， q2 =常数， q3 =常数。,正交曲面坐标系,由通过该点的三个坐标面决定，,q1 ，q2 ，q3 相互独立,若q1 ，q2 ，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。,点 a0 与其邻点的弧长：,其中， 是坐标轴的度规因子，,若 gij=giidij ，则 (q1, q2, q3) 为正交曲面坐标系。,令 其中,判定,即 或,判断柱坐标系 为正交曲面坐标系。,可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。,判断球坐标系 为正交曲面坐标系。,可知，球坐标系是正交曲面坐标系。,直角坐标系：,正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符：,柱坐标系：,球坐标系：,极坐标系：,补充原点处的有界条件： 有界,15.2 圆形区域,可采用分离变量法,采用平面极坐标系,圆形区域中的稳定问题,补充周期性条件：,直角坐标下无法分离变量,令 ，分离变量,定解问题为：,两边同乘以 得,若 l = 0 可知：,周期性条件,由周期性条件知：,本征函数,若 l 0 可知：,由周期性条件知：,本征函数,对方程（1）作变换：令 ，则,因此，当 时，本征函数为,本征值 l0 = 0 ，本征函数：,方程（1）化为：,定解问题的全部特解为：,一般解：,本征值 lm = m2 ，本征函数：,在 r = 0 处， 有界， lnr 和 项的系数为零，即,将一般解代入周期性条件 ：,利用本征函数的正交性及,可知：,再代入边界条件 ：,三维空间的稳恒振动问题：,15.3 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量,通常要求解的形式为：,这样方程就化为了：,亥姆霍兹方程,T(t) 为随时间衰减的因子,柱坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：,逐次分离变量，令,代入方程,两边同除以 wZ 得：,再次分离变量，令,代入方程,得,两边同乘以 得,17章 柱函数,两边同乘以 得,15.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量,球坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：,逐次分离变量，令,代入方程,再次分离变量，令,代入方程（2）,得,即,两边同乘以 得,16章 球函数,连带勒让德方程,当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即 u = u (r, q)
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